Encontre a solução de cada PVI:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial do segundo grau com condição inicial. O enunciado é:
O conteúdo aqui envolve equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar achar a solução geral da equação homogênea e uma solução particular da equação completa, depois aplicar as condições iniciais.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente resolve encontrando as raízes da equação característica.
A equação característica é:
Resolvendo para
:
Como as raízes são complexas
, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes que vamos determinar mais tarde.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação completa:
Como o lado direito é uma constante, vamos tentar uma solução particular também constante. Vamos supor que
, onde
é uma constante a ser encontrada.
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Então, a solução particular é:
Passo 4
A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Passo 5
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de
e
.
Primeira condição:
.
Substituindo
:
Segunda condição:
.
Primeiro, vamos achar a derivada de
:
Substituindo
:
Resposta
Substituindo os valores de
e
na solução geral, a solução do PVI é:
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Encontre a solução de cada PVI:
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