Encontre a solução de cada PVI:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial do segundo grau com condição inicial. O enunciado é:
O conteúdo aqui envolve equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar achar a solução geral da equação homogênea e uma solução particular da equação completa, depois aplicar as condições iniciais.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente resolve encontrando as raízes da equação característica.
A equação característica é:
Resolvendo para :
Como as raízes são complexas , a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes que vamos determinar mais tarde.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação completa:
Como o lado direito é uma constante, vamos tentar uma solução particular também constante. Vamos supor que , onde é uma constante a ser encontrada.
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Então, a solução particular é:

Passo 4

A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Passo 5

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de e .
Primeira condição: .
Substituindo :
Segunda condição: .
Primeiro, vamos achar a derivada de :
Substituindo :

Resposta

Substituindo os valores de e na solução geral, a solução do PVI é:

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Encontre a solução de cada PVI:
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