Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a solução de um Problema de Valor Inicial (PVI). O enunciado que temos é:
Esse problema está dentro da matéria de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente lidando com equações lineares de segunda ordem com termos não homogêneos. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa. Depois, aplicaremos as condições iniciais para determinar as constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para resolver essa equação, usamos o método dos coeficientes característicos. Assumimos que a solução tem a forma , onde é um número que precisamos encontrar. Substituindo na equação homogênea:
Dividindo por (que nunca é zero):
Essa é a equação característica. Vamos resolvê-la:
Portanto, as raízes são e .
Passo 3
Como temos duas raízes distintas ( e ), a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular () para a equação completa:
Para isso, usamos o método dos coeficientes indeterminados. Observando o lado direito , que é uma função seno, nossa hipótese para a solução particular será da forma:
onde e são constantes a serem encontradas.
Vamos calcular as derivadas de :
Substituindo , e na equação completa:
Simplificando:
Agrupando termos semelhantes:
Simplificando mais:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo , os coeficientes de e devem ser iguais nos dois lados. Portanto:
Resolvendo esse sistema:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Então,
Portanto, a solução particular é:
Passo 5
Agora, combinamos a solução geral da equação homogênea com a solução particular para obter a solução geral da equação completa:
Para determinar as constantes e , aplicamos as condições iniciais.