Encontre a solução de cada PVI:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a solução de um Problema de Valor Inicial (PVI). O enunciado que temos é:
Esse problema está dentro da matéria de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente lidando com equações lineares de segunda ordem com termos não homogêneos. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa. Depois, aplicaremos as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para resolver essa equação, usamos o método dos coeficientes característicos. Assumimos que a solução tem a forma , onde é um número que precisamos encontrar. Substituindo na equação homogênea:
Dividindo por (que nunca é zero):
Essa é a equação característica. Vamos resolvê-la:
Portanto, as raízes são e .

Passo 3

Como temos duas raízes distintas ( e ), a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação completa:
Para isso, usamos o método dos coeficientes indeterminados. Observando o lado direito , que é uma função seno, nossa hipótese para a solução particular será da forma:
onde e são constantes a serem encontradas.
Vamos calcular as derivadas de :
Substituindo , e na equação completa:
Simplificando:
Agrupando termos semelhantes:
Simplificando mais:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo , os coeficientes de e devem ser iguais nos dois lados. Portanto:
Resolvendo esse sistema:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Então,
Portanto, a solução particular é:

Passo 5

Agora, combinamos a solução geral da equação homogênea com a solução particular para obter a solução geral da equação completa:
Para determinar as constantes e , aplicamos as condições iniciais.
Primeiro, calculamos :
Então:
Agora, calculamos :
Aplicando :
Então:
Resolvendo o sistema de equações:
Da equação (1):
Substituindo na equação (2):
Então,

Resposta

A solução do PVI é:

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Encontre a solução de cada PVI:
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Encontre a solução de cada PVI:
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