Para cada uma das equações abaixo, encontre um fator integrante e determine suas curvas integrais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar um fator integrante e determinar as curvas integrais da equação diferencial
. Isso está dentro do conteúdo de Equações Diferenciais, mais especificamente sobre equações exatas e fatores integrantes. Para resolver, vamos precisar manipular a equação para torná-la exata e então integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos arrumar a equação para colocá-la na forma diferencial
. A equação dada é:
Vamos isolar os termos com
e
:
Aqui, identificamos:
Passo 3
Agora, vamos verificar se a equação é exata. Para isso, calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata. Então, precisamos encontrar um fator integrante para torná-la exata.
Passo 4
Uma técnica comum é procurar um fator integrante que depende apenas de
ou apenas de
. Vamos testar para
. Calculamos:
Isso nos sugere que:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando:
Agora, vamos verificar se a equação está exata:
Como
, a equação agora é exata.
Passo 6
Para encontrar a solução, integramos
em relação a
:
Agora, derivamos essa expressão em relação a
e igualamos a
para encontrar
:
Isso implica que
, ent��o
é uma constante. Vamos chamar essa constante de
.
Resposta
A solução geral das curvas integrais é dada por:
Onde
é uma constante.
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