Para cada uma das equações abaixo, encontre um fator integrante e determine suas curvas integrais:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar um fator integrante e determinar as curvas integrais da equação diferencial . Isso está dentro do conteúdo de Equações Diferenciais, mais especificamente sobre equações exatas e fatores integrantes. Para resolver, vamos precisar manipular a equação para torná-la exata e então integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos arrumar a equação para colocá-la na forma diferencial . A equação dada é:
Vamos isolar os termos com e :
Aqui, identificamos:

Passo 3

Agora, vamos verificar se a equação é exata. Para isso, calculamos as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata. Então, precisamos encontrar um fator integrante para torná-la exata.

Passo 4

Uma técnica comum é procurar um fator integrante que depende apenas de ou apenas de . Vamos testar para . Calculamos:
Isso nos sugere que:

Passo 5

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Simplificando:
Agora, vamos verificar se a equação está exata:
Como , a equação agora é exata.

Passo 6

Para encontrar a solução, integramos em relação a :
Agora, derivamos essa expressão em relação a e igualamos a para encontrar :
Isso implica que , ent��o é uma constante. Vamos chamar essa constante de .

Resposta

A solução geral das curvas integrais é dada por:
Onde é uma constante.

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