Para cada uma das equações abaixo, encontre um fator integrante e determine suas curvas integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial ordinária (EDO) do tipo primeira ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar um fator integrante, que nos ajuda a transformar a equação em uma forma mais fácil de integrar. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la no formato padrão de uma equação linear:
Mas olhando para a nossa equação:
Podemos rearranjar para isolar
:
Dividindo ambos os lados por :
Sabemos que , então:
Passo 3
Agora, temos:
Essa é uma equação separável, o que significa que podemos separar as variáveis
e
em lados opostos da equação. Vamos fazer isso:
Sabendo que , podemos reescrever:
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados agora:
Integrando o lado esquerdo:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Vamos isolar
para encontrar as curvas integrais:
Movendo
para o lado esquerdo:
Fatorando
:
Ou seja:
Podemos renomear a constante
para
, então:
Resposta
As curvas integrais da equação dada são representadas por:
Onde
é uma constante qualquer.