Para cada uma das equações abaixo, encontre um fator integrante e determine suas curvas integrais: cos(y) - sen(y) * y' = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial ordinária (EDO) do tipo primeira ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar um fator integrante, que nos ajuda a transformar a equação em uma forma mais fácil de integrar. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la no formato padrão de uma equação linear:
Mas olhando para a nossa equação:
Podemos rearranjar para isolar :
Dividindo ambos os lados por :
Sabemos que , então:

Passo 3

Agora, temos:
Essa é uma equação separável, o que significa que podemos separar as variáveis e em lados opostos da equação. Vamos fazer isso:
Sabendo que , podemos reescrever:

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados agora:
Integrando o lado esquerdo:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Vamos isolar para encontrar as curvas integrais:
Movendo para o lado esquerdo:
Fatorando :
Ou seja:
Podemos renomear a constante para , então:

Resposta

As curvas integrais da equação dada são representadas por:
Onde é uma constante qualquer.

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