Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial ordinária (EDO) de segunda ordem com condições iniciais. O enunciado é: encontrar a solução do PVI (Problema de Valor Inicial) dado por
Para isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares e métodos de resolução como a solução geral da equação homogênea e uma solução particular para a parte não homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Essa é uma EDO homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente resolve encontrando as raízes da equação característica.
Passo 3
A equação característica é:
Resolvendo para :
Como as raízes são imaginárias, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Como o lado direito é uma função polinomial de primeiro grau (), vamos assumir que a solução particular também seja polinomial. Vamos tentar:
onde e são constantes a serem encontradas.
Passo 5
Calculando as derivadas de :
Substituindo na equação original:
Isso nos dá:
Comparando os coeficientes, temos:
Então, a solução particular é:
Passo 6
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Passo 7
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar e .