Encontre a solução de cada PVI: y'' + y = 8t, y(0) = 0, y'(0) = 10

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial ordinária (EDO) de segunda ordem com condições iniciais. O enunciado é: encontrar a solução do PVI (Problema de Valor Inicial) dado por
Para isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares e métodos de resolução como a solução geral da equação homogênea e uma solução particular para a parte não homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Essa é uma EDO homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente resolve encontrando as raízes da equação característica.

Passo 3

A equação característica é:
Resolvendo para :
Como as raízes são imaginárias, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Como o lado direito é uma função polinomial de primeiro grau ( ), vamos assumir que a solução particular também seja polinomial. Vamos tentar:
onde e são constantes a serem encontradas.

Passo 5

Calculando as derivadas de :
Substituindo na equação original:
Isso nos dá:
Comparando os coeficientes, temos:
Então, a solução particular é:

Passo 6

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Passo 7

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar e .
Primeiro, com :

Passo 8

Agora, a derivada de é:
Aplicando :

Resposta

A solução do problema é:

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