Verifique que as equações abaixo são exatas e encontre suas curvas integrais: (2 a x + b y) + (b x + 2 a y) y' = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial: . O objetivo aqui é verificar se essa equação é exata e, se for, encontrar suas curvas integrais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma equação diferencial exata e como encontrar a solução geral dela.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma mais familiar. Podemos considerar:
Onde:

Passo 3

Uma equação diferencial é exata se satisfaz a condição:
Vamos calcular essas derivadas parciais.

Passo 4

Calculando :

Passo 5

Calculando :

Passo 6

Comparando as duas derivadas:
Como ambas são iguais, a equação é exata. Agora, vamos encontrar a função potencial tal que:

Passo 7

Vamos integrar em relação a :
Aqui, é uma função de que aparece por causa da integração.

Passo 8

Agora, vamos derivar em relação a e igualar a :
Comparando os termos:
Isso implica que:
Integrando em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 9

Substituindo na expressão de :
A solução geral da equação diferencial exata é:
Então:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é , onde é uma constante.

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