Verifique que as equações abaixo são exatas e encontre suas curvas integrais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial:
. O objetivo aqui é verificar se essa equação é exata e, se for, encontrar suas curvas integrais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma equação diferencial exata e como encontrar a solução geral dela.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma mais familiar. Podemos considerar:
Onde:
Passo 3
Uma equação diferencial é exata se satisfaz a condição:
Vamos calcular essas derivadas parciais.
Passo 4
Calculando
:
Passo 5
Calculando
:
Passo 6
Comparando as duas derivadas:
Como ambas são iguais, a equação é exata. Agora, vamos encontrar a função potencial
tal que:
Passo 7
Vamos integrar
em relação a
:
Aqui,
é uma função de
que aparece por causa da integração.
Passo 8
Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar a
:
Comparando os termos:
Isso implica que:
Integrando em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 9
Substituindo
na expressão de
:
A solução geral da equação diferencial exata é:
Então:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
, onde
é uma constante.
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<html><head></head><body><div>Para cada uma das equações abaixo, encontre um fator integrante e determine suas curvas integrais: <span class=“math-inline “>
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.566ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“19.563ex” height=“2.283ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -759 8646.8 1009”><title>cos(y) - sen(y) * y’ = 0</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“63” d=“M370 305T349 305T313 320T297 358Q297 381 312 396Q317 401 317 402T307 404Q281 408 258 408Q209 408 178 376Q131 329 131 219Q131 137 162 90Q203 29 272 29Q313 29 338 55T374 117Q376 125 379 127T395 129H409Q415 123 415 120Q415 116 411 104T395 71T366 33T318 2T249 -11Q163 -11 99 53T34 214Q34 318 99 383T250 448T370 421T404 357Q404 334 387 320Z”></path><path data-c=“6F” d=“M28 214Q28 309 93 378T250 448Q340 448 405 380T471 215Q471 120 407 55T250 -10Q153 -10 91 57T28 214ZM250 30Q372 30 372 193V225V250Q372 272 371 288T364 326T348 362T317 390T268 410Q263 411 252 411Q222 411 195 399Q152 377 139 338T126 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data-mml-node=“msup” transform=“translate(6045.8,0)”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D466” d=“M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z”></path></g><g data-mml-node=“TeXAtom” transform=“translate(523,363) scale(0.707)” data-mjx-texclass=“ORD”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“2032” d=“M79 43Q73 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