Verifique que as equações abaixo são exatas e encontre suas curvas integrais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial:
. O objetivo aqui é verificar se essa equação é exata e, se for, encontrar suas curvas integrais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma equação diferencial exata e como encontrar a solução geral dela.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma mais familiar. Podemos considerar:
Onde:
Passo 3
Uma equação diferencial é exata se satisfaz a condição:
Vamos calcular essas derivadas parciais.
Passo 4
Calculando
:
Passo 5
Calculando
:
Passo 6
Comparando as duas derivadas:
Como ambas são iguais, a equação é exata. Agora, vamos encontrar a função potencial
tal que:
Passo 7
Vamos integrar
em relação a
:
Aqui,
é uma função de
que aparece por causa da integração.
Passo 8
Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar a
:
Comparando os termos:
Isso implica que:
Integrando em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 9
Substituindo
na expressão de
:
A solução geral da equação diferencial exata é:
Então:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
, onde
é uma constante.