Encontre a solução de cada PVI:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente resolver um Problema de Valor Inicial (PVI) envolvendo uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem. O que isso significa? Que temos uma equação que relaciona a função
e sua derivada
, e também temos condições iniciais que nos ajudam a encontrar a solução específica dessa equação. Para resolver isso, vamos precisar usar o método do fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a equação que temos:
Essa é uma EDO linear de primeira ordem, onde o coeficiente de
é -5 e o termo não homogêneo é
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante. A fórmula para o fator integrante
em uma equação da forma
é:
No nosso caso,
, então:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Multiplicando ambos os lados por
para isolar
:
Passo 5
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar o valor de
. Sabemos que
.
Substituindo
na solução:
Então, a solução ficou:
Resposta
A solução do PVI é:
Exercícios relacionados
Para cada uma das equações abaixo, encontre um fator integrante e determine suas curvas integrais:
Verifique que as equações abaixo são exatas e encontre suas curvas integrais:
Encontre a solução de cada PVI:
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