Encontre a solução de cada PVI:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente resolver um Problema de Valor Inicial (PVI) envolvendo uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem. O que isso significa? Que temos uma equação que relaciona a função e sua derivada , e também temos condições iniciais que nos ajudam a encontrar a solução específica dessa equação. Para resolver isso, vamos precisar usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a equação que temos:
Essa é uma EDO linear de primeira ordem, onde o coeficiente de é -5 e o termo não homogêneo é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante. A fórmula para o fator integrante em uma equação da forma é:
No nosso caso, , então:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Agora, integramos ambos os lados em relação a :
Multiplicando ambos os lados por para isolar :

Passo 5

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar o valor de . Sabemos que .
Substituindo na solução:
Então, a solução ficou:

Resposta

A solução do PVI é:

Exercícios relacionados

Para cada uma das equações abaixo, encontre um fator integrante e determine suas curvas integrais:
Verifique que as equações abaixo são exatas e encontre suas curvas integrais:
Encontre a solução de cada PVI:
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