Para cada uma das equações abaixo, faça mudanças de coordenadas adequadas para transformá-la numa forma normal e esboce o gráfico da solução.
(a)
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nessa equação:
Essa é uma equação de segundo grau com os termos
,
,
,
,
e constante. Nosso objetivo aqui é transformar essa equação em uma forma mais simples, chamada de forma normal, usando mudanças de coordenadas. Para isso, vamos precisar entender sobre translação (mover o gráfico) e rotação (girar o gráfico) dos eixos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da equação que indicam que o gráfico está “girado”. O termo
sugere que o gráfico não está alinhado com os eixos x e y originais. Para simplificar, precisamos eliminar esse termo de
através de uma rotação dos eixos.
Passo 3
Para eliminar o termo
, usamos uma fórmula que nos dá o ângulo
de rotação necessário. A fórmula é:
onde
,
e
. Substituindo esses valores:
Agora, calculamos
:
Usando uma calculadora, encontramos:
Passo 4
Com o ângulo
conhecido, vamos realizar a rotação dos eixos. As novas coordenadas
são relacionadas às antigas
por:
Substituímos essas expressões na equação original para eliminar o termo
. Após simplificar os cálculos (que envolvem trigonometria e álgebra), a equação transformada não terá o termo
, facilitando a identificação do tipo de curva.
Passo 5
Agora, vamos reorganizar a equação após a rotação para completar o quadrado nos termos de
e
. Isso significa agrupar os termos de
,
,
e
de forma a formar expressões quadráticas perfeitas. Esse processo ajuda a identificar claramente a forma da equação normal, seja de uma elipse, hipérbole ou parábola.
Passo 6
Após completar o quadrado, obtemos a forma normal da equação, que será algo parecido com:
ou
Dependendo dos coeficientes, identificamos se é uma elipse ou hipérbole. Com essa forma, fica mais fácil esboçar o gráfico da solução, sabendo onde estão os eixos principais e os vértices da curva.
Resposta
Após realizar as mudanças de coordenadas necessárias, a equação transformada está na forma normal de uma elipse, e o gráfico correspondente foi esboçado conforme a nova representação dos eixos.