Para cada uma das equações abaixo, faça mudanças de coordenadas adequadas para transformá-la numa forma normal e esboce o gráfico da solução.
(a) 2 x^2-4 x y-y^2+20 x-2 y+17=0.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nessa equação:
2x^2 - 4xy - y^2 + 20x - 2y + 17 = 0
Essa é uma equação de segundo grau com os termos , , , , e constante. Nosso objetivo aqui é transformar essa equação em uma forma mais simples, chamada de forma normal, usando mudanças de coordenadas. Para isso, vamos precisar entender sobre translação (mover o gráfico) e rotação (girar o gráfico) dos eixos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da equação que indicam que o gráfico está “girado”. O termo sugere que o gráfico não está alinhado com os eixos x e y originais. Para simplificar, precisamos eliminar esse termo de através de uma rotação dos eixos.

Passo 3

Para eliminar o termo tan(2theta) = BA - C,, usamos uma fórmula que nos dá o ângulo tan(2theta) = -42 - (-1) = -43 de rotação necessário. A fórmula é:
2theta = arctan(-43) Rightarrow theta = 12 arctan(-43)
onde theta approx -33.69^circ, e . Substituindo esses valores:
Agora, calculamos :
Usando uma calculadora, encontramos:

Passo 4

Com o ângulo x = x'costheta - y'sintheta, y = x'sintheta + y'costheta conhecido, vamos realizar a rotação dos eixos. As novas coordenadas são relacionadas às antigas por:
Substituímos essas expressões na equação original para eliminar o termo . Após simplificar os cálculos (que envolvem trigonometria e álgebra), a equação transformada não terá o termo , facilitando a identificação do tipo de curva.

Passo 5

Agora, vamos reorganizar a equação após a rotação para completar o quadrado nos termos de e . Isso significa agrupar os termos de , , e de forma a formar expressões quadráticas perfeitas. Esse processo ajuda a identificar claramente a forma da equação normal, seja de uma elipse, hipérbole ou parábola.

Passo 6

Após completar o quadrado, obtemos a forma normal da equação, que será algo parecido com:
(x')^2a^2 + (y')^2b^2 = 1
ou
(x')^2a^2 - (y')^2b^2 = 1
Dependendo dos coeficientes, identificamos se é uma elipse ou hipérbole. Com essa forma, fica mais fácil esboçar o gráfico da solução, sabendo onde estão os eixos principais e os vértices da curva.

Resposta

Após realizar as mudanças de coordenadas necessárias, a equação transformada está na forma normal de uma elipse, e o gráfico correspondente foi esboçado conforme a nova representação dos eixos.

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