Seja T o operador de P2(R) definido por T(p(t))=p^prime prime(t)-2 p^prime(t)+p(t). T é diagonalizável?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um operador linear que atua no espaço dos polinômios de grau até 2, . O operador é definido por . Nosso objetivo é descobrir se é diagonalizável. Para isso, vamos precisar entender o que significa um operador ser diagonalizável e como identificar isso usando matrizes e autovalores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um operador diagonalizável. Um operador linear é diagonalizável se conseguirmos encontrar uma base de vetores próprios para o espaço, ou seja, se for possível representar o operador como uma matriz diagonal em alguma base. Para verificar isso, vamos precisar encontrar a matriz de em uma base conveniente e, em seguida, encontrar os autovalores e autovetores dessa matriz.

Passo 3

Vamos escolher a base padrão para T(1) = (1)'' - 2(1)' + 1 = 0 - 0 + 1 = 1 , que é T(t) = (t)'' - 2(t)' + t = 0 - 2(1) + t = t - 2 . Agora, precisamos aplicar o operador T(t^2) = (t^2)'' - 2(t^2)' + t^2 = 2 - 2(2t) + t^2 = t^2 - 4t + 2 a cada um desses polinômios e expressar o resultado novamente na base padrão.
  • Aplicando a :
  • Aplicando a :
  • Aplicando a :

Passo 4

Agora, vamos escrever a matriz de T(1) T(t) T(t^2) = 1 t - 2 t^2 - 4t + 2 na base 1 -2 cdot 1 + 1 cdot t + 0 cdot t^2 2 cdot 1 - 4 cdot t + 1 cdot t^2 usando os resultados acima. Cada coluna da matriz corresponde às coordenadas das imagens dos vetores da base.

[
A = 1 & -2 & 2 0 & 1 & -4 0 & 0 & 1


]
Expressando isso em termos de coordenadas:
Então, a matriz de fica:

Passo 5

Para verificar se det(A - lambda I) = 0 é diagonalizável, precisamos encontrar os autovalores da matriz det 1 - lambda & -2 & 2 0 & 1 - lambda & -4 0 & 0 & 1 - lambda = (1 - lambda)^3 . Os autovalores são as soluções da equação característica:
Calculando o determinante:
Então, o único autovalor é com multiplicidade algébrica 3.

Passo 6

Agora, vamos verificar a multiplicidade geométrica, ou seja, a dimensão do espaço dos autovetores associados a 0 & -2 & 2 0 & 0 & -4 0 & 0 & 0 x1 x2 x3 = 0 0 0 . Para isso, resolvemos -2x2 + 2x3 = 0 -4x3 = 0 :

[
1 0 0


]
Isso resulta nas equações:
Da segunda equação, . Substituindo na primeira, então . é livre, então o espaço dos autovetores é gerado por , com dimensão 1.

Passo 7

Como a multiplicidade algébrica do autovalor é 3, mas a multiplicidade geométrica é apenas 1, isso significa que não há autovetores suficientes para formar uma base. Portanto, (e consequentemente ) não é diagonalizável.

Resposta

Não, o operador não é diagonalizável.

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