Seja o operador de definido por . é diagonalizável?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um operador linear que atua no espaço dos polinômios de grau até 2, . O operador é definido por . Nosso objetivo é descobrir se é diagonalizável. Para isso, vamos precisar entender o que significa um operador ser diagonalizável e como identificar isso usando matrizes e autovalores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um operador diagonalizável. Um operador linear é diagonalizável se conseguirmos encontrar uma base de vetores próprios para o espaço, ou seja, se for possível representar o operador como uma matriz diagonal em alguma base. Para verificar isso, vamos precisar encontrar a matriz de em uma base conveniente e, em seguida, encontrar os autovalores e autovetores dessa matriz.
Passo 3
Vamos escolher a base padrão para , que é . Agora, precisamos aplicar o operador a cada um desses polinômios e expressar o resultado novamente na base padrão.
Aplicando a :
Aplicando a :
Aplicando a :
Passo 4
Agora, vamos escrever a matriz de na base usando os resultados acima. Cada coluna da matriz corresponde às coordenadas das imagens dos vetores da base.
[
]
Expressando isso em termos de coordenadas:
Então, a matriz de fica:
Passo 5
Para verificar se det(A - lambda I) = 0 é diagonalizável, precisamos encontrar os autovalores da matriz det 1 - lambda & -2 & 2 0 & 1 - lambda & -4 0 & 0 & 1 - lambda = (1 - lambda)^3 . Os autovalores são as soluções da equação característica:
Calculando o determinante:
Então, o único autovalor é com multiplicidade algébrica 3.
Passo 6
Agora, vamos verificar a multiplicidade geométrica, ou seja, a dimensão do espaço dos autovetores associados a 0 & -2 & 2 0 & 0 & -4 0 & 0 & 0 x1 x2 x3 = 0 0 0 . Para isso, resolvemos -2x2 + 2x3 = 0 -4x3 = 0 :
[ 1 0 0
]
Isso resulta nas equações:
Da segunda equação, . Substituindo na primeira, então . é livre, então o espaço dos autovetores é gerado por , com dimensão 1.
Passo 7
Como a multiplicidade algébrica do autovalor é 3, mas a multiplicidade geométrica é apenas 1, isso significa que não há autovetores suficientes para formar uma base. Portanto, (e consequentemente ) não é diagonalizável.