determine o valor de para que os vetores e sejam ortogonais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem duas funções:
E nos foi dado um produto interno definido por:
O objetivo é encontrar o valor de que faz com que e sejam ortogonais. Ortonogonais significa que o produto interno entre elas é zero.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é produtos internos e ortogonalidade. No contexto de funções, o produto interno mede uma espécie de “ângulo” entre elas. Se o produto interno for zero, dizemos que as funções são ortogonais, ou seja, “perpendiculares” no espaço das funções.
Então, queremos encontrar tal que:
Passo 3
Vamos substituir e na expressão do produto interno:
Agora, precisamos resolver essa integral e encontrar o valor de que a torna igual a zero.
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos calcular a integral separadamente:
Para :
Para :
Então, a integral completa é:
Passo 6
Agora, vamos avaliar a integral nos limites de 2 a 1:
m ( 1^44 - 2^44 ) - ( 1^22 - 2^22 ) = 0
Calculando cada termo:
Para o primeiro termo:
14 - 164 = -154
Para o segundo termo:
12 - 42 = -32
Então, a equação fica:
m cdot ( -154 ) - ( -32 ) = 0
Passo 7
Simplificando a equação:
-154 m + 32 = 0
Vamos isolar -154 m = -32 :
154 m = 32
Multiplicando ambos os lados por :
Passo 8
Agora, resolvendo para m = 32 cdot 415 = 1230 = 25 :