Usando o produto interno
lang<= f(t), g(t)rang<==integral2^1 f(t) g(t) d t
determine o valor de m para que os vetores f(t)=m t^2-1 e g(t)=t sejam ortogonais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem duas funções:
  • lang<= f(t), g(t)rang<= = integral2^1 f(t) g(t) , dt
E nos foi dado um produto interno definido por:
O objetivo é encontrar o valor de que faz com que e sejam ortogonais. Ortonogonais significa que o produto interno entre elas é zero.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é produtos internos e ortogonalidade. No contexto de funções, o produto interno mede uma espécie de “ângulo” entre elas. Se o produto interno for zero, dizemos que as funções são ortogonais, ou seja, “perpendiculares” no espaço das funções.
Então, queremos encontrar lang<= f(t), g(t)rang<= = 0 tal que:

Passo 3

Vamos substituir lang<= f(t), g(t)rang<= = integral2^1 (m t^2 - 1) cdot t , dt = 0 e na expressão do produto interno:
Agora, precisamos resolver essa integral e encontrar o valor de que a torna igual a zero.

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
(m t^2 - 1) cdot t = m t^3 - t
Então, a integral fica:
integral2^1 (m t^3 - t) , dt = 0

Passo 5

Vamos calcular a integral separadamente:
  1. Para integral m t^3 , dt = m cdot t^44 + C :
    integral -t , dt = -t^22 + C
  2. Para m cdot t^44 - t^22 |2^1 = 0 :
Então, a integral completa é:

Passo 6

Agora, vamos avaliar a integral nos limites de 2 a 1:
m ( 1^44 - 2^44 ) - ( 1^22 - 2^22 ) = 0
Calculando cada termo:
  1. Para o primeiro termo:
    14 - 164 = -154
  2. Para o segundo termo:
    12 - 42 = -32
Então, a equação fica:
m cdot ( -154 ) - ( -32 ) = 0

Passo 7

Simplificando a equação:
-154 m + 32 = 0
Vamos isolar -154 m = -32 :
154 m = 32
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 8

Agora, resolvendo para m = 32 cdot 415 = 1230 = 25 :

Resposta

O valor de que torna e ortogonais é .

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