Verifique se o plano pi: 2 x+y+3 z-1=0 contém a reta r:lx=2+t y=1+t z=-3-2 t ( t in R).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se o plano pi: 2x + y + 3z - 1 = 0 contém a reta r definida por x = 2 + t, y = 1 + t e z = -3 - 2t, onde t é qualquer número real. Estamos trabalhando com geometria analítica, especificamente com planos e retas no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender como verificar se todos os pontos da reta satisfazem a equação do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos pegar a equação paramétrica da reta r:
x = 2 + t y = 1 + t z = -3 - 2t
Aqui, t é o parâmetro que varia ao longo da reta. Nosso objetivo é verificar se, para todo valor de t, as coordenadas (x, y, z) dessa reta também satisfazem a equação do plano pi.

Passo 3

Vamos substituir as expressões de x, y e z da reta na equação do plano:
2x + y + 3z - 1 = 0
Substituindo:
2(2 + t) + (1 + t) + 3(-3 - 2t) - 1 = 0

Passo 4

Agora, vamos simplificar essa expressão:
4 + 2t + 1 + t - 9 - 6t - 1 = 0
Juntando termos semelhantes:
(4 + 1 - 9 - 1) + (2t + t - 6t) = 0
(-5) + (-3t) = 0

Passo 5

A equação resultante foi:
-5 - 3t = 0
Para que a reta esteja no plano, essa igualdade deve ser verdadeira para todo valor de t. Vamos resolver para t:
-3t = 5 t = -53

Passo 6

Achamos um valor específico de t que satisfaz a equação, mas para a reta estar totalmente contida no plano, a igualdade precisa ser válida para todos os valores de t. Como isso não ocorre (a equação só é verdadeira para t = -53), concluímos que a reta não está completamente no plano.

Resposta

A reta r não está contida no plano pi.

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