Em cada uma das equaçôes diferenciais abaixo, encontre os pontos de equilfbrio e classifique-os em estável, instável ou semi-estável. Em seguida, encontre os limites solicitados. Atençāo, você não precisa resolver nenhuma das equaçōes.
d yd x=cos (y) Encontre lim t infty y(t) se y(0)=pi / 2

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a equação diferencial . O conteúdo principal aqui é equações diferenciais e pontos de equilíbrio. Para resolver, vamos precisar entender o que são pontos de equilíbrio, como classificá-los e como encontrar os limites de conforme (ou ) tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de equilíbrio. Pontos de equilíbrio são valores de cos(y) = 0 onde a derivada y = pi2 + kpi, onde k é um inteiro é igual a zero. Isso significa que, nessas situações, não está mudando, permanecendo constante.
Então, resolvemos:
é
Portanto, os pontos de equilíbrio são .

Passo 3

Agora, vamos classificar esses pontos de equilíbrio como estáveis, instáveis ou semi-estáveis. Para isso, analisamos o comportamento da função ao redor desses pontos.
Calculamos a derivada da função f'(y) = -sin(y) em relação a f'(pi2 + kpi) = -sin(pi2 + kpi) :
sin(pi2 + kpi) = (-1)^k
  • Se f'(pi2 + kpi) = -(-1)^k , o ponto é estável.
  • Se , o ponto é instável.
  • Se , o ponto é semi-estável.
Vamos avaliar nos pontos de equilíbrio:
Sabemos que:
Portanto:
  • Se é par ( ), então — ponto estável.
  • Se é ímpar ( ), então — ponto instável.

Passo 4

Agora, vamos encontrar dado que .
Começamos observando que é um ponto de equilíbrio (para ). Como nosso ponto inicial está exatamente em um ponto de equilíbrio estável, o valor de permanecerá constante ao longo do tempo. Ou seja, para todo .

Resposta

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