Em cada uma das equaçôes diferenciais abaixo, encontre os pontos de equilfbrio e classifique-os em estável, instável ou semi-estável. Em seguida, encontre os limites solicitados. Atençāo, você não precisa resolver nenhuma das equaçōes.
Encontre
se
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a equação diferencial
. O conteúdo principal aqui é equações diferenciais e pontos de equilíbrio. Para resolver, vamos precisar entender o que são pontos de equilíbrio, como classificá-los e como encontrar os limites de
conforme
(ou
) tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de equilíbrio. Pontos de equilíbrio são valores de
onde a derivada
é igual a zero. Isso significa que, nessas situações,
não está mudando, permanecendo constante.
Então, resolvemos:
Portanto, os pontos de equilíbrio são
.
Passo 3
Agora, vamos classificar esses pontos de equilíbrio como estáveis, instáveis ou semi-estáveis. Para isso, analisamos o comportamento da função ao redor desses pontos.
Calculamos a derivada da função
em relação a
:
- Se
, o ponto é estável. - Se
, o ponto é instável. - Se
, o ponto é semi-estável.
Vamos avaliar
nos pontos de equilíbrio:
Sabemos que:
Portanto:
- Se
é par ( ), então — ponto estável. - Se
é ímpar ( ), então — ponto instável.
Passo 4
Agora, vamos encontrar
dado que
.
Começamos observando que
é um ponto de equilíbrio (para
). Como nosso ponto inicial está exatamente em um ponto de equilíbrio estável, o valor de
permanecerá constante ao longo do tempo. Ou seja,
para todo
.