Mostre que as equações abaixo não são exatas, encontre um fator integrante e resolva o PVI:
(x^2 + y^2) / (x + 1) + 2 y y' = 0, y(0) = 2

Passo 1

Beleza! Vamos dar uma olhada no exercício que você trouxe. A gente precisa mostrar que a equação não é exata. Depois, vamos encontrar um fator integrante para torná-la exata e, por fim, resolver o problema de valor inicial dado por . Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais exatas e fatores integrantes.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de uma forma mais familiar. Podemos expressá-la como:
onde
e

Passo 3

Agora, para verificar se a equação é exata, a gente precisa comparar as derivadas parciais de M em relação a y e de N em relação a x. Se elas forem iguais, a equação é exata. Vamos calcular:
Primeiro, a derivada parcial de M em relação a y:
Agora, a derivada parcial de N em relação a x:

Passo 4

Como (ou seja, ), a equação não é exata. Isso significa que precisamos encontrar um fator integrante que, quando multiplicarmos a equação original por ele, tornará a equação exata.

Passo 5

Vamos procurar um fator integrante que dependa apenas de x ou apenas de y. Vamos tentar um fator que depende apenas de x, ou seja, mu(x). Para que a equação se torne exata após a multiplicação, devemos ter:
Substituindo os valores que já calculamos:

Passo 6

Essa é uma equação diferencial para mu(x). Vamos resolver:
Podemos separar as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Exponentiando:
Podemos escolher , então o fator integrante é .

Passo 7

Agora, multiplicamos a equação original pelo fator integrante:
Simplificando:
Podemos reescrever isso como:

Passo 8

Agora que a equação é exata, podemos encontrar uma função potencial F(x, y) tal que:
Integrando em relação a x:

Passo 9

Agora, encontramos a derivada parcial de F em relação a y:
Essa deve ser igual a , que é . Então:
Simplificando:
Integrando:
Portanto, a função potencial é:

Passo 10

Para encontrar a solução geral, igualamos :
Agora, aplicamos a condição inicial :

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

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