Mostre que as equações abaixo não são exatas, encontre um fator integrante e resolva o PVI:
Passo 1
Beleza! Vamos dar uma olhada no exercício que você trouxe. A gente precisa mostrar que a equação
não é exata. Depois, vamos encontrar um fator integrante para torná-la exata e, por fim, resolver o problema de valor inicial dado por
. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais exatas e fatores integrantes.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de uma forma mais familiar. Podemos expressá-la como:
onde
e
Passo 3
Agora, para verificar se a equação é exata, a gente precisa comparar as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
. Se elas forem iguais, a equação é exata. Vamos calcular:
Primeiro, a derivada parcial de
em relação a
:
Agora, a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 4
Como
(ou seja,
), a equação não é exata. Isso significa que precisamos encontrar um fator integrante que, quando multiplicarmos a equação original por ele, tornará a equação exata.
Passo 5
Vamos procurar um fator integrante que dependa apenas de
ou apenas de
. Vamos tentar um fator que depende apenas de
, ou seja,
. Para que a equação se torne exata após a multiplicação, devemos ter:
Substituindo os valores que já calculamos:
Passo 6
Essa é uma equação diferencial para
. Vamos resolver:
Podemos separar as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Exponentiando:
Podemos escolher
, então o fator integrante é
.
Passo 7
Agora, multiplicamos a equação original pelo fator integrante:
Simplificando:
Podemos reescrever isso como:
Passo 8
Agora que a equação é exata, podemos encontrar uma função potencial
tal que:
Integrando em relação a
:
Passo 9
Agora, encontramos a derivada parcial de
em relação a
:
Essa deve ser igual a
, que é
. Então:
Simplificando:
Integrando:
Portanto, a função potencial é:
Passo 10
Para encontrar a solução geral, igualamos
:
Agora, aplicamos a condição inicial
:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
Exercícios relacionados
Em cada uma das equaçôes diferenciais abaixo, encontre os pontos de equilfbrio e classifique-os em estável, instável ou semi-estável. Em seguida, encontre os limites solicitados. Atençāo, você não precisa resolver nenhuma das equaçōes.
Encontre
se
Resolva os sistemas a seguir
Mostre que as equações abaixo não são exatas, encontre um fator integrante e resolva o PVI:
In each of Problems 31 through 38:
© Draw a direction field and some integral curves. Are they symmetric with respect to the origin?
37.
© Draw a direction field and some integral curves. Are they symmetric with respect to the origin?
37.