Resolva os sistemas a seguir
X' = [[1, -5], [1, -3]] X

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais que você me passou. O conteúdo aqui é de Equações Diferenciais Lineares, especificamente sistemas de equações lineares de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de matrizes, autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de forma mais clara. Você tem:
Aqui, é um vetor coluna com duas funções desconhecidas que dependem de .

Passo 3

Para resolver esse sistema, precisamos encontrar os autovalores da matriz dos coeficientes. Os autovalores nos ajudam a descobrir o comportamento das soluções do sistema.
A matriz dos coeficientes é:

Passo 4

Vamos encontrar os autovalores ( ) resolvendo a equação característica:
Onde é a matriz identidade.
Calculando:
Simplificando:

Passo 5

Agora, resolvemos a equação quadrática para encontrar os autovalores:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , , e :
Então, os autovalores são e .

Passo 6

Com os autovalores complexos, sabemos que as soluções do sistema terão a forma de funções exponenciais multiplicadas por senos e cossenos. A forma geral da solução é:
Onde , , e é o vetor correspondente ao autovalor.

Passo 7

Vamos encontrar o vetor próprio correspondente a .
Resolvemos :

$$

$$
Simplificando:

$$

$$
Resolvendo a primeira equação:
Multiplicando numerador e denominador por :
Podemos escolher , então .

Passo 8

Assim, a solução geral do sistema é:
Simplificando e organizando os termos reais e imaginários, obtemos:

Resposta

A solução geral do sistema é:
Onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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