Resolva os sistemas a seguir
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais que você me passou. O conteúdo aqui é de Equações Diferenciais Lineares, especificamente sistemas de equações lineares de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de matrizes, autovalores e autovetores.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de forma mais clara. Você tem:
Aqui,
é um vetor coluna com duas funções desconhecidas que dependem de
.
Passo 3
Para resolver esse sistema, precisamos encontrar os autovalores da matriz dos coeficientes. Os autovalores nos ajudam a descobrir o comportamento das soluções do sistema.
A matriz dos coeficientes é:
Passo 4
Vamos encontrar os autovalores (
) resolvendo a equação característica:
Onde
é a matriz identidade.
Calculando:
Simplificando:
Passo 5
Agora, resolvemos a equação quadrática para encontrar os autovalores:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
, e
:
Então, os autovalores são
e
.
Passo 6
Com os autovalores complexos, sabemos que as soluções do sistema terão a forma de funções exponenciais multiplicadas por senos e cossenos. A forma geral da solução é:
Onde
,
, e
é o vetor correspondente ao autovalor.
Passo 7
Vamos encontrar o vetor próprio
correspondente a
.
Resolvemos
:
$$
$$
Simplificando:
$$
$$
Resolvendo a primeira equação:
Multiplicando numerador e denominador por
:
Podemos escolher
, então
.
Passo 8
Assim, a solução geral do sistema é:
Simplificando e organizando os termos reais e imaginários, obtemos:
Resposta
A solução geral do sistema é:
Onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Exercícios relacionados
Resolva o PVI
Use o método dos coeficientes indeterminados para determinar a solução geral da equação diferencial
.
Em cada uma das equaçôes diferenciais abaixo, encontre os pontos de equilfbrio e classifique-os em estável, instável ou semi-estável. Em seguida, encontre os limites solicitados. Atençāo, você não precisa resolver nenhuma das equaçōes.
Encontre
se
Mostre que as equações abaixo não são exatas, encontre um fator integrante e resolva o PVI: