Resolva o PVI

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial (PVI) que envolve um sistema de equações diferenciais lineares. A gente vai precisar usar conceitos de matrizes, autovalores e autovetores para encontrar a solução. Basicamente, vamos encontrar a solução geral do sistema e depois aplicar a condição inicial para determinar as constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz do sistema:
Para resolver esse sistema, precisamos encontrar os autovalores (λ) de , que são encontrados resolvendo o determinante .

Passo 3

Vamos calcular o determinante:
Desenvolvendo:
Então, a equação característica é:

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática:
Portanto, os autovalores são:

Passo 5

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para :
Resolvemos :
Isso nos dá a equação:
Podemos escolher , então o autovetor é:
Para :
Resolvemos :
Isso nos dá a equação:
Escolhendo , o autovetor é:

Passo 6

Com os autovalores e autovetores encontrados, a solução geral do sistema é:

Passo 7

Agora, vamos aplicar a condição inicial para encontrar as constantes e :
Isso nos dá o sistema:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
E então:

Resposta

A solução do PVI é:

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Use o método dos coeficientes indeterminados para determinar a solução geral da equação diferencial .
Determine a solução geral das equações dadas a seguir:
(Use o método dos coeficientes indeterminados)
Resolva os sistemas a seguir
Em cada uma das equaçôes diferenciais abaixo, encontre os pontos de equilfbrio e classifique-os em estável, instável ou semi-estável. Em seguida, encontre os limites solicitados. Atençāo, você não precisa resolver nenhuma das equaçōes.
Encontre se