Resolva o PVI
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial (PVI) que envolve um sistema de equações diferenciais lineares. A gente vai precisar usar conceitos de matrizes, autovalores e autovetores para encontrar a solução. Basicamente, vamos encontrar a solução geral do sistema e depois aplicar a condição inicial para determinar as constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a matriz do sistema:
Para resolver esse sistema, precisamos encontrar os autovalores (λ) de
, que são encontrados resolvendo o determinante
.
Passo 3
Vamos calcular o determinante:
Desenvolvendo:
Então, a equação característica é:
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática:
Portanto, os autovalores são:
Passo 5
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para
:
Resolvemos :
Resolvemos
Isso nos dá a equação:
Podemos escolher
, então o autovetor é:
Para
:
Resolvemos :
Resolvemos
Isso nos dá a equação:
Escolhendo
, o autovetor é:
Passo 6
Com os autovalores e autovetores encontrados, a solução geral do sistema é:
Passo 7
Agora, vamos aplicar a condição inicial
para encontrar as constantes
e
:
Isso nos dá o sistema:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
E então:
Resposta
A solução do PVI é:
Exercícios relacionados
Use o método dos coeficientes indeterminados para determinar a solução geral da equação diferencial
.
Determine a solução geral das equações dadas a seguir:
(Use o método dos coeficientes indeterminados)
Resolva os sistemas a seguir
Em cada uma das equaçôes diferenciais abaixo, encontre os pontos de equilfbrio e classifique-os em estável, instável ou semi-estável. Em seguida, encontre os limites solicitados. Atençāo, você não precisa resolver nenhuma das equaçōes.
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