Mostre que as equações abaixo não são exatas, encontre um fator integrante e resolva o PVI:
(y^2 + (x*y + 1)) y' = 0, y(1) = 1

Passo 1

Beleza, então a gente tem um problema onde precisamos mostrar que a equação diferencial dada não é exata. Depois disso, vamos encontrar um fator integrante para tornar a equação exata e, por fim, resolver o problema de valor inicial (PVI) que é y(1) = 1. A matéria que vamos usar aqui envolve equações diferenciais de primeira ordem e o conceito de exatidão. Vamos precisar saber como verificar se uma equação é exata e como encontrar um fator integrante quando ela não é.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para entender melhor. A equação dada é:
Podemos reorganizar isso para a forma padrão de uma equação diferencial de primeira ordem:
Aqui, e .

Passo 3

Agora, para verificar se a equação é exata, precisamos comparar as derivadas parciais. A condição de exatidão é:
Calculando as derivadas:
Como , a equação não é exata. Isso significa que precisamos encontrar um fator integrante para torná-la exata.

Passo 4

Vamos buscar um fator integrante que depende apenas de . Vamos chamar esse fator de . Multiplicando a equação por , a condição para exatidão se torna:
Simplificando, encontramos que:
A solução dessa equação diferencial é:
Então, o fator integrante é .

Passo 5

Agora, multiplicamos a equação original por :
Com isso, a equação se torna exata. Podemos então integrar em relação a para encontrar a solução geral:
Derivando essa expressão em relação a e igualando à outra parte da equação, encontramos que . Assim, a solução geral é:
Simplificando:

Passo 6

Aplicamos a condição inicial para encontrar a constante :

Resposta

A solução do PVI é:

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