Mostre que as equações abaixo não são exatas, encontre um fator integrante e resolva o PVI:
Passo 1
Beleza, então a gente tem um problema onde precisamos mostrar que a equação diferencial dada não é exata. Depois disso, vamos encontrar um fator integrante para tornar a equação exata e, por fim, resolver o problema de valor inicial (PVI) que é y(1) = 1. A matéria que vamos usar aqui envolve equações diferenciais de primeira ordem e o conceito de exatidão. Vamos precisar saber como verificar se uma equação é exata e como encontrar um fator integrante quando ela não é.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para entender melhor. A equação dada é:
Podemos reorganizar isso para a forma padrão de uma equação diferencial de primeira ordem:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, para verificar se a equação é exata, precisamos comparar as derivadas parciais. A condição de exatidão é:
Calculando as derivadas:
Como
, a equação não é exata. Isso significa que precisamos encontrar um fator integrante para torná-la exata.
Passo 4
Vamos buscar um fator integrante que depende apenas de
. Vamos chamar esse fator de
. Multiplicando a equação por
, a condição para exatidão se torna:
Simplificando, encontramos que:
A solução dessa equação diferencial é:
Então, o fator integrante é
.
Passo 5
Agora, multiplicamos a equação original por
:
Com isso, a equação se torna exata. Podemos então integrar
em relação a
para encontrar a solução geral:
Derivando essa expressão em relação a
e igualando à outra parte da equação, encontramos que
. Assim, a solução geral é:
Simplificando:
Passo 6
Aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Resposta
A solução do PVI é:
Exercícios relacionados
Mostre que as equações abaixo não são exatas, encontre um fator integrante e resolva o PVI:
Em cada uma das equaçôes diferenciais abaixo, encontre os pontos de equilfbrio e classifique-os em estável, instável ou semi-estável. Em seguida, encontre os limites solicitados. Atençāo, você não precisa resolver nenhuma das equaçōes.
Encontre
se
In each of Problems 31 through 38:
© Draw a direction field and some integral curves. Are they symmetric with respect to the origin?
37.
© Draw a direction field and some integral curves. Are they symmetric with respect to the origin?
37.
In each of Problems 31 through 38:
© Draw a direction field and some integral curves. Are they symmetric with respect to the origin?
34.
© Draw a direction field and some integral curves. Are they symmetric with respect to the origin?
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