Em cada exercício abaixo verifique se lim (x, y) (0,0) f(x, y) existe. Justifique a sua resposta.
f(x, y)=x^2x^2+y^2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que verificar se o limite da função existe quando se aproxima de . Isso faz parte do conteúdo de limites de funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos analisar o comportamento da função ao nos aproximarmos do ponto por diferentes caminhos.

Passo 2

Vamos começar avaliando o limite ao nos aproximarmos de f(x, 0) = x^2x^2 + 0^2 = x^2x^2 = 1 ao longo do eixo , ou seja, quando . Substituindo na função, temos:
Portanto, o limite ao longo do eixo é 1.

Passo 3

Agora, vamos avaliar o limite ao nos aproximarmos de f(0, y) = 0^20^2 + y^2 = 0y^2 = 0 ao longo do eixo , ou seja, quando . Substituindo na função, temos:
Portanto, o limite ao longo do eixo é 0.

Passo 4

Observamos que ao nos aproximarmos de por caminhos diferentes, obtemos limites distintos: 1 pelo eixo e 0 pelo eixo . Isso significa que o limite depende do caminho escolhido para se aproximar do ponto .

Resposta

Como os limites ao longo de diferentes caminhos resultam em valores diferentes, concluímos que não existe.

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