Seja y(t) a população de camarões na lagoa dos Patos, supondo que os camarões são capturados a uma taxa constante R camarões por semana e a população satisfaz a equação logística
y' = (a - b * y) * y - R
onde a > 0, b > 0 e R > 0.
Determine os dois pontos de equilíbrio ( y1 e y2 ) para R < a^2 / (4 b), esboce o gráfico das soluções e analise sua estabilidade.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma equação que descreve a população de camarões na lagoa dos Patos ao longo do tempo:
Aqui, representa a população de camarões no tempo , e são constantes positivas, e é a taxa constante de captura de camarões por semana. Nosso objetivo é encontrar os pontos de equilíbrio e quando , desenhar o gráfico das soluções e analisar a estabilidade desses pontos.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de equações diferenciais, pontos de equilíbrio e estabilidade. Vamos passo a passo!

Passo 2

Encontrando os pontos de equilíbrio
Os pontos de equilíbrio são os valores de onde a população não muda, ou seja, onde .
Começamos igualando a equação a zero:
Vamos resolver essa equação para :
Distribuindo :
Rearranjando os termos:
Agora, temos uma equação quadrática na forma . Para resolver essa equação, usamos a fórmula de Bhaskara:
Esses são os dois pontos de equilíbrio e .

Passo 3

Condições para ter dois pontos de equilíbrio
Para que existam dois pontos de equilíbrio reais e distintos, o discriminante da equação quadrática deve ser positivo:
Isolando :
Essa condição garante que teremos dois pontos de equilíbrio reais e .

Passo 4

Expressando os pontos de equilíbrio
Usando a fórmula de Bhaskara, os pontos de equilíbrio são:
Esses valores representam os níveis de população onde a taxa de crescimento dos camarões iguala a taxa de captura .

Passo 5

Analisando a estabilidade dos pontos de equilíbrio
Para analisar a estabilidade, vamos examinar a derivada da função em cada ponto de equilíbrio.
Calculamos a derivada :
Agora, avaliamos em e :
  1. Para :
Como (devido ao sinal positivo na raiz quadrada), substituindo na derivada:
Como é maior, , o que indica que é um ponto de equilíbrio estável (atraente). Isso significa que a população tende a se estabilizar nesse valor.
  1. Para :
Substituindo na derivada:
Como é menor, , indicando que é um ponto de equilíbrio instável (repulsivo). Assim, a população não permanece nesse nível a longo prazo.

Passo 6

Esboçando o gráfico das soluções
No gráfico, temos no eixo vertical e no eixo horizontal. Os pontos de equilíbrio e são representados como linhas horizontais.
  • Para : (a população diminui em direção a ).
  • Para : (a população aumenta em direção a ).
  • Para : (a população diminui indefinidamente, mas como representa população, provavelmente se estabiliza em zero, mas isso depende do modelo exato).
Visualmente, é um atrator estável e é um repulsor instável.

Resposta

Os dois pontos de equilíbrio para são:
No gráfico das soluções, é um ponto de equilíbrio estável e é instável. A população de camarões tende a se estabilizar no nível ao longo do tempo, enquanto o nível não é mantido e a população se afasta dele.

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