Seja
a população de camarões na lagoa dos Patos, supondo que os camarões são capturados a uma taxa constante
camarões por semana e a população satisfaz a equação logística
onde
e
.
Determine os dois pontos de equilíbrio (
e
) para
, esboce o gráfico das soluções e analise sua estabilidade.
Determine os dois pontos de equilíbrio (
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma equação que descreve a população de camarões na lagoa dos Patos ao longo do tempo:
Aqui,
representa a população de camarões no tempo
,
e
são constantes positivas, e
é a taxa constante de captura de camarões por semana. Nosso objetivo é encontrar os pontos de equilíbrio
e
quando
, desenhar o gráfico das soluções e analisar a estabilidade desses pontos.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de equações diferenciais, pontos de equilíbrio e estabilidade. Vamos passo a passo!
Passo 2
Encontrando os pontos de equilíbrio
Os pontos de equilíbrio são os valores de
onde a população não muda, ou seja, onde
.
Começamos igualando a equação a zero:
Vamos resolver essa equação para
:
Distribuindo
:
Rearranjando os termos:
Agora, temos uma equação quadrática na forma
. Para resolver essa equação, usamos a fórmula de Bhaskara:
Esses são os dois pontos de equilíbrio
e
.
Passo 3
Condições para ter dois pontos de equilíbrio
Para que existam dois pontos de equilíbrio reais e distintos, o discriminante da equação quadrática deve ser positivo:
Isolando
:
Essa condição
garante que teremos dois pontos de equilíbrio reais
e
.
Passo 4
Expressando os pontos de equilíbrio
Usando a fórmula de Bhaskara, os pontos de equilíbrio são:
Esses valores representam os níveis de população onde a taxa de crescimento dos camarões iguala a taxa de captura
.
Passo 5
Analisando a estabilidade dos pontos de equilíbrio
Para analisar a estabilidade, vamos examinar a derivada da função
em cada ponto de equilíbrio.
Calculamos a derivada
:
Agora, avaliamos
em
e
:
- Para
:
Como
(devido ao sinal positivo na raiz quadrada), substituindo na derivada:
Como
é maior,
, o que indica que
é um ponto de equilíbrio estável (atraente). Isso significa que a população tende a se estabilizar nesse valor.
- Para
:
Substituindo na derivada:
Como
é menor,
, indicando que
é um ponto de equilíbrio instável (repulsivo). Assim, a população não permanece nesse nível a longo prazo.
Passo 6
Esboçando o gráfico das soluções
No gráfico, temos
no eixo vertical e
no eixo horizontal. Os pontos de equilíbrio
e
são representados como linhas horizontais.
- Para
: (a população diminui em direção a ). - Para
: (a população aumenta em direção a ). - Para
: (a população diminui indefinidamente, mas como representa população, provavelmente se estabiliza em zero, mas isso depende do modelo exato).
Visualmente,
é um atrator estável e
é um repulsor instável.
Resposta
Os dois pontos de equilíbrio para
são:
No gráfico das soluções,
é um ponto de equilíbrio estável e
é instável. A população de camarões tende a se estabilizar no nível
ao longo do tempo, enquanto o nível
não é mantido e a população se afasta dele.