Considere a equação diferencial abaixo
y' = (y + 1)^2 (y - 1) y
Responda às seguintes preguntas sem resolver a equação acima.
Faça um esboço das soluções e encontre as soluções de equilíbrio, dizendo em cada caso se o equilíbrio é estável, instável ou semi-estável.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial dada por . Nosso objetivo aqui é esboçar as soluções dessa equação e encontrar as soluções de equilíbrio, além de identificar se cada equilíbrio é estável, instável ou semi-estável. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equilíbrios em equações diferenciais e como analisar a estabilidade deles.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre soluções de equilíbrio. Essas são os valores de onde a derivada é igual a zero. Em outras palavras, são os pontos onde a solução não muda, ou seja, se mantém constante. Então, para encontrar os equilíbrios, vamos resolver:
Isso acontece quando algum dos fatores é zero.

Passo 3

Resolvendo a equação:
Então, temos três soluções de equilíbrio: , e .

Passo 4

Agora, vamos analisar a estabilidade de cada equilíbrio. Para isso, vamos observar o sinal de em torno de cada ponto de equilíbrio. Isso nos indica se as soluções próximas se aproximam ou se afastam do equilíbrio.
  • Quando :
    • Vamos escolher, por exemplo, .
    • Substituindo na equação:
    • Então, , o que significa que está aumentando.
  • Entre e :
    • Escolha .
    • Ainda, , está aumentando.
  • Entre e :
    • Escolha .
    • Aqui, , então está diminuindo.
  • Quando :
    • Escolha .
    • Assim, , está aumentando.

Passo 5

Com base nesses sinais, podemos determinar a estabilidade de cada equilíbrio:
  • :
    • Para , (aumenta).
    • Para , (aumenta).
    • Como ambos os lados indicam que está aumentando em direção a -1, esse equilíbrio é estável.
  • :
    • Para , (aumenta).
    • Para , (diminui).
    • Aqui, está se aproximando de 0 de ambos os lados, então esse equilíbrio é estável.
  • :
    • Para , (diminui).
    • Para , (aumenta).
    • Nesse caso, se afasta de 1 tanto de baixo quanto de cima, então esse equilíbrio é instável.

Resposta

As soluções de equilíbrio são (estável), (estável) e (instável). O esboço das soluções mostra que tende a -1 e 0, enquanto se afasta de 1.

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