Considere a equação diferencial abaixo
Responda às seguintes preguntas sem resolver a equação acima.
Faça um esboço das soluções e encontre as soluções de equilíbrio, dizendo em cada caso se o equilíbrio é estável, instável ou semi-estável.
Faça um esboço das soluções e encontre as soluções de equilíbrio, dizendo em cada caso se o equilíbrio é estável, instável ou semi-estável.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial dada por
. Nosso objetivo aqui é esboçar as soluções dessa equação e encontrar as soluções de equilíbrio, além de identificar se cada equilíbrio é estável, instável ou semi-estável. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equilíbrios em equações diferenciais e como analisar a estabilidade deles.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre soluções de equilíbrio. Essas são os valores de
onde a derivada
é igual a zero. Em outras palavras, são os pontos onde a solução não muda, ou seja,
se mantém constante. Então, para encontrar os equilíbrios, vamos resolver:
Isso acontece quando algum dos fatores é zero.
Passo 3
Resolvendo a equação:
-
-
⇒ -
⇒
Então, temos três soluções de equilíbrio:
,
e
.
Passo 4
Agora, vamos analisar a estabilidade de cada equilíbrio. Para isso, vamos observar o sinal de
em torno de cada ponto de equilíbrio. Isso nos indica se as soluções próximas se aproximam ou se afastam do equilíbrio.
-
Quando
: - Vamos escolher, por exemplo,
. - Substituindo na equação:
- Então,
, o que significa que está aumentando.
- Vamos escolher, por exemplo,
-
Entre
e : - Escolha
. -
- Ainda,
, está aumentando.
- Escolha
-
Entre
e : - Escolha
. -
- Aqui,
, então está diminuindo.
- Escolha
-
Quando
: - Escolha
. -
- Assim,
, está aumentando.
- Escolha
Passo 5
Com base nesses sinais, podemos determinar a estabilidade de cada equilíbrio:
-
: - Para
, (aumenta). - Para
, (aumenta). - Como ambos os lados indicam que
está aumentando em direção a -1, esse equilíbrio é estável.
- Para
-
: - Para
, (aumenta). - Para
, (diminui). - Aqui,
está se aproximando de 0 de ambos os lados, então esse equilíbrio é estável.
- Para
-
: - Para
, (diminui). - Para
, (aumenta). - Nesse caso,
se afasta de 1 tanto de baixo quanto de cima, então esse equilíbrio é instável.
- Para
Resposta
As soluções de equilíbrio são
(estável),
(estável) e
(instável). O esboço das soluções mostra que
tende a -1 e 0, enquanto se afasta de 1.