Suponha que, inicialmente, haja
peixes em uma criação. Se a cada unidade de tempo são pescados
peixes, o número
de peixes em cada instante
é dado pela equação
Encontre o valor máximo de
(valor inteiro) para que a população de peixes nunca chegue a zero.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos fala sobre uma criação com inicialmente
peixes. A cada unidade de tempo, pescamos
peixes. A equação que descreve como a população de peixes muda ao longo do tempo é:
Vamos usar conhecimentos de Equações Diferenciais para encontrar o valor máximo de
que garante que a população nunca chegue a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação:
Aqui,
representa a taxa de variação da população de peixes. A parte
mostra o crescimento natural da população, que depende de
. O termo
representa a pesca que diminui a população.
Passo 3
Para garantir que a população nunca chegue a zero, precisamos encontrar o valor máximo de
onde a população alcança um equilíbrio estável. Isso acontece quando
, ou seja, quando:
Vamos resolver essa equação para
:
Passo 4
Agora, queremos encontrar o máximo de
. Para isso, vamos pensar que
depende de
. Para maximizar
, precisamos derivar a expressão em relação a
e encontrar o ponto onde a derivada é zero.
Então, vamos definir:
Derivando
em relação a
:
Passo 5
Vamos igualar a derivada a zero para encontrar o valor de
que maximiza
:
Resolvendo para
:
Passo 6
Com
, vamos encontrar o valor máximo de
:
Passo 7
Como
precisa ser um valor inteiro, o valor máximo que garante que a população nunca chegue a zero é 112 peixes por unidade de tempo.
Resposta
O valor máximo de
é 112 peixes por unidade de tempo.