Suponha que, inicialmente, haja N(0) = 300 peixes em uma criação. Se a cada unidade de tempo são pescados P peixes, o número N(t) de peixes em cada instante t é dado pela equação
N' = (3/4 - 1/800 N) N - P
Encontre o valor máximo de P (valor inteiro) para que a população de peixes nunca chegue a zero.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos fala sobre uma criação com inicialmente N(0) = 300 peixes. A cada unidade de tempo, pescamos P peixes. A equação que descreve como a população de peixes muda ao longo do tempo é:
Vamos usar conhecimentos de Equações Diferenciais para encontrar o valor máximo de P que garante que a população nunca chegue a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação:
Aqui, representa a taxa de variação da população de peixes. A parte mostra o crescimento natural da população, que depende de N. O termo representa a pesca que diminui a população.

Passo 3

Para garantir que a população nunca chegue a zero, precisamos encontrar o valor máximo de P onde a população alcança um equilíbrio estável. Isso acontece quando , ou seja, quando:
Vamos resolver essa equação para P:

Passo 4

Agora, queremos encontrar o máximo de P. Para isso, vamos pensar que P depende de N. Para maximizar P, precisamos derivar a expressão em relação a N e encontrar o ponto onde a derivada é zero.
Então, vamos definir:
Derivando em relação a N:

Passo 5

Vamos igualar a derivada a zero para encontrar o valor de N que maximiza P:
Resolvendo para N:

Passo 6

Com , vamos encontrar o valor máximo de P:

Passo 7

Como P precisa ser um valor inteiro, o valor máximo que garante que a população nunca chegue a zero é 112 peixes por unidade de tempo.

Resposta

O valor máximo de P é 112 peixes por unidade de tempo.

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