Em cada exercício abaixo verifique se
existe. Justifique a sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para verificar se o limite de
quando
tende a
existe. Para isso, vamos usar conceitos de limites em funções de várias variáveis e testar diferentes caminhos para ver se o limite é o mesmo em todos eles.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o limite existir nesse contexto. Quando falamos de limite para
, queremos que o valor de
se aproxime de um único número, independentemente do caminho que tomamos para chegar a
.
Passo 3
Vamos testar alguns caminhos diferentes para ver se o limite é consistente. Um caminho simples é quando
, onde
é uma constante. Substituindo
por
na função:
À medida que
tende a 0,
também tende a 0.
Passo 4
Agora, vamos verificar outro caminho, como quando
. Substituindo
por
:
Novamente, quando
tende a 0,
também tende a 0.
Passo 5
Por fim, vamos considerar o caminho polar, onde usamos coordenadas polares para generalizar o caminho qualquer. Substituindo
e
:
Como
tende a 0,
também tende a 0, independentemente do valor de
.
Resposta
Portanto, em todos os caminhos testados, o limite de
quando
é 0. Assim, o limite existe e é igual a 0.