Em cada exercício abaixo verifique se lim (x, y) (0,0) f(x, y) existe. Justifique a sua resposta.
f(x, y)=x^2 y^2x^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para verificar se o limite de quando tende a existe. Para isso, vamos usar conceitos de limites em funções de várias variáveis e testar diferentes caminhos para ver se o limite é o mesmo em todos eles.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o limite existir nesse contexto. Quando falamos de limite para , queremos que o valor de se aproxime de um único número, independentemente do caminho que tomamos para chegar a .

Passo 3

Vamos testar alguns caminhos diferentes para ver se o limite é consistente. Um caminho simples é quando f(x, kx) = x^2 (kx)^2x^2 + (kx)^2 = x^2 k^2 x^2x^2(1 + k^2) = k^2 x^4x^2(1 + k^2) = k^2 x^21 + k^2 , onde é uma constante. Substituindo por na função:
À medida que tende a 0, também tende a 0.

Passo 4

Agora, vamos verificar outro caminho, como quando f(x, x^2) = x^2 (x^2)^2x^2 + (x^2)^2 = x^2 x^4x^2 + x^4 = x^6x^2(1 + x^2) = x^41 + x^2 . Substituindo por :
Novamente, quando tende a 0, também tende a 0.

Passo 5

Por fim, vamos considerar o caminho polar, onde usamos coordenadas polares para generalizar o caminho qualquer. Substituindo f(r cos(theta), r sin(theta)) = (r cos(theta))^2 (r sin(theta))^2(r cos(theta))^2 + (r sin(theta))^2 = r^4 cos^2(theta) sin^2(theta)r^2 (cos^2(theta) + sin^2(theta)) = r^4 cos^2(theta) sin^2(theta)r^2 = r^2 cos^2(theta) sin^2(theta) e :
Como tende a 0, também tende a 0, independentemente do valor de .

Resposta

Portanto, em todos os caminhos testados, o limite de quando é 0. Assim, o limite existe e é igual a 0.

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