Considere a equação diferencial abaixo
y^prime=(y+1)^2(y-1) y
Responda às seguintes preguntas sem resolver a equação acima.
Seja y(t) a solução satisfazendo a condição inicial y(0)=beta. Para quais valores de beta a solução do problema de valor inicial posui um limite lim t infty y(t) finito?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma equação diferencial:
y^prime = (y + 1)^2(y - 1) y
E nos pede para descobrir, para quais valores de beta a solução dessa equação, que começa com y(0) = beta, tem um limite finito quando t vai para o infinito.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de pontos de equilíbrio e estabilidade das soluções em equações diferenciais. Isso vai nos ajudar a entender para quais valores de beta a solução acaba se estabilizando em algum valor específico à medida que o tempo passa.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de equilíbrio da equação. Pontos de equilíbrio são valores de y onde a derivada y^prime é zero, ou seja, onde a solução não muda com o tempo. Para isso, igualamos a parte direita da equação a zero:
(y + 1)^2(y - 1) y = 0
Resolvendo essa equação:
  1. y + 1 = 0 y = -1
  2. y - 1 = 0 y = 1
  3. y = 0
Portanto, temos três pontos de equilíbrio: y = -1, y = 0 e y = 1.

Passo 3

Agora, vamos analisar a estabilidade desses pontos de equilíbrio. Isso nos dirá se, se a solução começar perto de um ponto de equilíbrio, ela vai se aproximar ou se afastar desse ponto com o tempo.
Para isso, observamos o sinal de y^prime em torno de cada ponto de equilíbrio:
  • Para y < -1:
    • (y + 1)^2 é sempre positivo.
    • (y - 1) é negativo.
    • y é negativo.
    • Então, y^prime = (+) times (-) times (-) = +. A solução aumenta.
  • Para -1 < y < 0:
    • (y + 1)^2 é positivo.
    • (y - 1) é negativo.
    • y é negativo.
    • Então, y^prime = (+) times (-) times (-) = +. A solução aumenta.
  • Para 0 < y < 1:
    • (y + 1)^2 é positivo.
    • (y - 1) é negativo.
    • y é positivo.
    • Então, y^prime = (+) times (-) times (+) = -. A solução diminui.
  • Para y > 1:
    • (y + 1)^2 é positivo.
    • (y - 1) é positivo.
    • y é positivo.
    • Então, y^prime = (+) times (+) times (+) = +. A solução aumenta.
Isso nos mostra que:
  • y = -1: Solução tende a aumentar para a direita de -1.
  • y = 0: Solução tende a aumentar para a esquerda de 0 e a diminuir para a direita de 0.
  • y = 1: Solução tende a aumentar para a direita de 1.

Passo 4

Com base nessa análise, podemos ver como as soluções se comportam em relação aos pontos de equilíbrio:
  • Se beta < -1, a solução aumenta sem limite.
  • Se -1 < beta < 0, a solução também aumenta e tende a 0.
  • Se 0 < beta < 1, a solução diminui e tenta se estabilizar em 0.
  • Se beta > 1, a solução aumenta sem limite.
  • Se beta = -1, beta = 0 ou beta = 1, a solução permanece nesses valores constantes.

Passo 5

Agora, queremos saber para quais valores de beta a solução tem um limite finito quando t infty. Observando o comportamento:
  • Para -1 <= beta <= 1, a solução tende a 0 ou se mantém em um ponto de equilíbrio finito.
  • Para beta < -1 ou beta > 1, a solução não tem um limite finito; ela aumenta sem parar.

Resposta

Para valores de beta no intervalo -1 <= beta <= 1, a solução y(t) possui um limite finito quando t tende ao infinito.

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