Considere a equação diferencial abaixo
Responda às seguintes preguntas sem resolver a equação acima.
Seja
a solução satisfazendo a condição inicial
. Para quais valores de
a solução do problema de valor inicial posui um limite
finito?
Seja
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma equação diferencial:
E nos pede para descobrir, para quais valores de
a solução dessa equação, que começa com
, tem um limite finito quando
vai para o infinito.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de pontos de equilíbrio e estabilidade das soluções em equações diferenciais. Isso vai nos ajudar a entender para quais valores de
a solução acaba se estabilizando em algum valor específico à medida que o tempo passa.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de equilíbrio da equação. Pontos de equilíbrio são valores de
onde a derivada
é zero, ou seja, onde a solução não muda com o tempo. Para isso, igualamos a parte direita da equação a zero:
Resolvendo essa equação:
-
→ -
→ -
Portanto, temos três pontos de equilíbrio:
,
e
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a estabilidade desses pontos de equilíbrio. Isso nos dirá se, se a solução começar perto de um ponto de equilíbrio, ela vai se aproximar ou se afastar desse ponto com o tempo.
Para isso, observamos o sinal de
em torno de cada ponto de equilíbrio:
-
Para
: -
é sempre positivo. -
é negativo. -
é negativo. - Então,
. A solução aumenta.
-
-
Para
: -
é positivo. -
é negativo. -
é negativo. - Então,
. A solução aumenta.
-
-
Para
: -
é positivo. -
é negativo. -
é positivo. - Então,
. A solução diminui.
-
-
Para
: -
é positivo. -
é positivo. -
é positivo. - Então,
. A solução aumenta.
-
Isso nos mostra que:
-
: Solução tende a aumentar para a direita de -1. -
: Solução tende a aumentar para a esquerda de 0 e a diminuir para a direita de 0. -
: Solução tende a aumentar para a direita de 1.
Passo 4
Com base nessa análise, podemos ver como as soluções se comportam em relação aos pontos de equilíbrio:
- Se
, a solução aumenta sem limite. - Se
, a solução também aumenta e tende a 0. - Se
, a solução diminui e tenta se estabilizar em 0. - Se
, a solução aumenta sem limite. - Se
, ou , a solução permanece nesses valores constantes.
Passo 5
Agora, queremos saber para quais valores de
a solução tem um limite finito quando
. Observando o comportamento:
- Para
, a solução tende a ou se mantém em um ponto de equilíbrio finito. - Para
ou , a solução não tem um limite finito; ela aumenta sem parar.
Resposta
Para valores de
no intervalo
, a solução
possui um limite finito quando
tende ao infinito.