Em cada exercício abaixo verifique se lim (x, y) (0,0) f(x, y) existe. Justifique a sua resposta.
f(x, y)=x^2+yx^2+y^2

Passo 1

Vamos analisar o limite de f(x, y) = x^2 + yx^2 + y^2 quando (x, y) se aproxima de (0,0). O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo de limites de funções de duas variáveis. Para resolver, precisamos verificar se o limite é o mesmo ao nos aproximarmos de (0,0) por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite ao aproximarmos de (0,0) pelo eixo y (onde x = 0). Substituindo x = 0 na função:
f(0, y) = 0^2 + y0^2 + y^2 = yy^2 = 1y

Passo 3

Agora, vamos observar o que acontece com 1y quando y se aproxima de 0. Se y se aproxima de 0 pelo lado positivo, 1y tende ao infinito positivo. Se y se aproxima de 0 pelo lado negativo, 1y tende ao infinito negativo. Portanto, o limite não existe pelo caminho do eixo y.

Passo 4

Para confirmar se o limite realmente não existe, vamos verificar outro caminho. Vamos nos aproximar de (0,0) pela linha y = 0. Substituindo y = 0 na função:
f(x, 0) = x^2 + 0x^2 + 0^2 = x^2x^2 = 1

Passo 5

Pelo caminho y = 0, o limite da função é 1. Já vimos que pelo caminho x = 0, o limite não existe (tende ao infinito). Como obtemos valores diferentes ao nos aproximarmos de (0,0) por caminhos distintos, isso mostra que o limite da função f(x, y) quando (x, y) (0,0) não existe.

Resposta

O limite lim (x, y) (0,0) x^2+yx^2+y^2 não existe.

Exercícios relacionados