Em cada exercício abaixo verifique se lim (x, y) (0,0) f(x, y) existe. Justifique a sua resposta.
f(x, y)=x-yx+y

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos verificar se o limite dessa função existe quando se aproxima de . Para resolver isso, vamos analisar o comportamento da função ao nos aproximarmos de por diferentes caminhos. Se o limite for o mesmo por todos os caminhos, ele existe; caso contrário, não existe.

Passo 2

Vamos começar avaliando a função ao longo do eixo f(x, 0) = x - 0x + 0 = xx = 1 , ou seja, quando . Substituindo na função, temos:
Portanto, ao nos aproximarmos de pelo eixo , o limite é 1.

Passo 3

Agora, vamos avaliar a função ao longo do eixo f(0, y) = 0 - y0 + y = -yy = -1 , ou seja, quando . Substituindo na função, temos:
Assim, ao nos aproximarmos de pelo eixo , o limite é -1.

Passo 4

Observamos que os limites obtidos nos passos anteriores são diferentes: 1 pelo eixo e -1 pelo eixo . Isso indica que o limite da função não é o mesmo por todos os caminhos.

Resposta

Como o limite de quando se aproxima de depende do caminho seguido e resulta em valores diferentes, concluímos que o limite não existe.

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