(1,5 ponto) Calcule, por meio da definição de derivadas parciais, ou seja, usando limites, partial fpartial y(x, y) onde f(x, y)=3 x y-y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada parcial de em relação a , usando a definição de derivadas parciais com limites. Isso significa que vamos focar em como a função muda quando só varia, mantendo constante. Para isso, precisamos entender a definição de derivada parcial e como aplicar limites para encontrá-la.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de derivada parcial em relação a partial fpartial y(x, y) = limh to 0 f(x, y + h) - f(x, y)h . A derivada parcial de em relação a é dada por:
Isso significa que vamos calcular como a função muda quando aumentamos de um pouquinho ( ), mantendo fixo.

Passo 3

Vamos agora substituir a função f(x, y + h) = 3x(y + h) - (y + h) = 3xy + 3xh - y - h na definição. Primeiro, calculamos f(x, y + h) - f(x, y) = (3xy + 3xh - y - h) - (3xy - y) = 3xh - h :
Agora, vamos calcular a diferença :

Passo 4

Substituímos essa diferença na definiç��o da derivada parcial:
partial fpartial y(x, y) = limh to 0 3xh - hh
Simplificando a expressão:
3xh - hh = 3x - 1

Resposta

Portanto, a derivada parcial de partial fpartial y(x, y) = 3x - 1 em relação a é:

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