(1,5 ponto) Calcule, por meio da definição de derivadas parciais, ou seja, usando limites,
onde
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada parcial de
em relação a
, usando a definição de derivadas parciais com limites. Isso significa que vamos focar em como a função muda quando só
varia, mantendo
constante. Para isso, precisamos entender a definição de derivada parcial e como aplicar limites para encontrá-la.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição de derivada parcial em relação a
. A derivada parcial de
em relação a
é dada por:
Isso significa que vamos calcular como a função
muda quando aumentamos
de um pouquinho (
), mantendo
fixo.
Passo 3
Vamos agora substituir a função
na definição. Primeiro, calculamos
:
Agora, vamos calcular a diferença
:
Passo 4
Substituímos essa diferença na definiç��o da derivada parcial:
Simplificando a expressão:
Resposta
Portanto, a derivada parcial de
em relação a
é: