Considere a EDO
onde a é um número real não nulo.
Como podemos ter
ou
, faça, para cada um destes casos, o esboço das soluções desta equação sem resolvê-la, encontre suas soluções de equilíbrio e classifique-as em estável, instável ou semi-estável.
Como podemos ter
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre uma Equação Diferencial Ordinária (EDO). A equação dada é
, onde
é um número real diferente de zero. O que a gente precisa fazer é desenhar o esboço das soluções dessa equação para os casos em que
e
, encontrar as soluções de equilíbrio e classificar cada uma delas como estável, instável ou semi-estável.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as soluções de equilíbrio. Essas são as soluções onde
. Então, igualamos a equação a zero:
Como
não é zero, podemos dividir os dois lados por
sem problemas:
Passo 3
Agora, resolvemos essa equação para encontrar os valores de
:
Então, as soluções de equilíbrio são
,
e
.
Passo 4
Agora, vamos classificar cada uma dessas soluções de equilíbrio quanto à sua estabilidade. Para isso, vamos analisar o sinal de
em torno de cada ponto de equilíbrio para os casos em que
e
.
Caso 1:
Vamos dividir a linha dos números reais em intervalos baseados nas soluções de equilíbrio:
,
,
e
. Vamos escolher um valor de
em cada intervalo e verificar o sinal de
.
-
Para
(por exemplo, ): Como, a solução diminui. -
Para
(por exemplo, ): Como, a solução aumenta. -
Para
(por exemplo, ): Como, a solução diminui. -
Para
(por exemplo, ): Como, a solução aumenta.
Classificação das Soluções de Equilíbrio para
:
-
: Antes de , e depois de , . Isso significa que é estável (as soluções se aproximam desse ponto). -
: Antes de , e depois de , . Isso significa que é instável (as soluções se afastam desse ponto). -
: Antes de , e depois de , . Isso indica que é semi-estável (ate un lado é estável e do outro é instável).
Caso 2:
Agora, como
, o sinal de
será invertido em cada intervalo. Vamos reavaliar os sinais:
-
Para
: Como, , a solução aumenta. -
Para
: Como, , a solução diminui. -
Para
: Como, , a solução aumenta. -
Para
: Como, , a solução diminui.
Classificaç��o das Soluções de Equilíbrio para
:
-
: Antes de , e depois de , . Isso indica que é instável. -
: Antes de , e depois de , . Isso significa que é estável. -
: Antes de , e depois de , . Isso mostra que é semi-estável.
Resposta
Para
:
-
é estável. -
é instável. -
é semi-estável.
Para
:
-
é instável. -
é estável. -
é semi-estável.