Considere a EDO y' = a * (y^2 - 1) * (y + 2) onde a é um número real não nulo.
Como podemos ter a > 0 ou a < 0, faça, para cada um destes casos, o esboço das soluções desta equação sem resolvê-la, encontre suas soluções de equilíbrio e classifique-as em estável, instável ou semi-estável.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre uma Equação Diferencial Ordinária (EDO). A equação dada é , onde é um número real diferente de zero. O que a gente precisa fazer é desenhar o esboço das soluções dessa equação para os casos em que e , encontrar as soluções de equilíbrio e classificar cada uma delas como estável, instável ou semi-estável.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as soluções de equilíbrio. Essas são as soluções onde . Então, igualamos a equação a zero:
Como não é zero, podemos dividir os dois lados por sem problemas:

Passo 3

Agora, resolvemos essa equação para encontrar os valores de :
Então, as soluções de equilíbrio são , e .

Passo 4

Agora, vamos classificar cada uma dessas soluções de equilíbrio quanto à sua estabilidade. Para isso, vamos analisar o sinal de em torno de cada ponto de equilíbrio para os casos em que e .

Caso 1:

Vamos dividir a linha dos números reais em intervalos baseados nas soluções de equilíbrio: , , e . Vamos escolher um valor de em cada intervalo e verificar o sinal de .
  1. Para (por exemplo, ):
    Como , a solução diminui.
  2. Para (por exemplo, ):
    Como , a solução aumenta.
  3. Para (por exemplo, ):
    Como , a solução diminui.
  4. Para (por exemplo, ):
    Como , a solução aumenta.

Classificação das Soluções de Equilíbrio para :

  • : Antes de , e depois de , . Isso significa que é estável (as soluções se aproximam desse ponto).
  • : Antes de , e depois de , . Isso significa que é instável (as soluções se afastam desse ponto).
  • : Antes de , e depois de , . Isso indica que é semi-estável (ate un lado é estável e do outro é instável).

Caso 2:

Agora, como , o sinal de será invertido em cada intervalo. Vamos reavaliar os sinais:
  1. Para :
    Como , , a solução aumenta.
  2. Para :
    Como , , a solução diminui.
  3. Para :
    Como , , a solução aumenta.
  4. Para :
    Como , , a solução diminui.

Classificaç��o das Soluções de Equilíbrio para :

  • : Antes de , e depois de , . Isso indica que é instável.
  • : Antes de , e depois de , . Isso significa que é estável.
  • : Antes de , e depois de , . Isso mostra que é semi-estável.

Resposta

Para :
  • é estável.
  • é instável.
  • é semi-estável.
Para :
  • é instável.
  • é estável.
  • é semi-estável.

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