Nos problemas 8-10, resolva a equação diferencial dada, sujeita a condição inicial indicada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que nos foi dada:
Esse exercício está na matéria de Equações Diferenciais, e vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para separar as variáveis
e
. Dividimos ambos os lados por
e multiplicamos por
:
Isso facilita a integração de cada lado separadamente.
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. Começando com o lado esquerdo:
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Seja
, então
, ou seja,
. Assim, a integral fica:
Passo 4
Agora, integramos o lado direito:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Igualamos as duas integrais e juntamos as constantes em uma só:
Multiplicamos ambos os lados por 2 para simplificar:
Onde
ainda é uma constante.
Passo 6
Exponenciamos ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Onde
é uma nova constante.
Passo 7
Aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Passo 8
Substituímos
na equação:
Para simplificar, podemos escrever de outra forma: