Nos problemas 8-10, resolva a equação diferencial dada, sujeita a condição inicial indicada.
y dy = 4 x (y^2 + 1) dx y(0) = 1
raiz(y^2 + 1) = raiz(2) e^(2 x^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que nos foi dada:
çã
Esse exercício está na matéria de Equações Diferenciais, e vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para separar as variáveis e . Dividimos ambos os lados por e multiplicamos por :
Isso facilita a integração de cada lado separadamente.

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. Começando com o lado esquerdo:
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Seja , então , ou seja, . Assim, a integral fica:

Passo 4

Agora, integramos o lado direito:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Igualamos as duas integrais e juntamos as constantes em uma só:
Multiplicamos ambos os lados por 2 para simplificar:
Onde ainda é uma constante.

Passo 6

Exponenciamos ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Onde é uma nova constante.

Passo 7

Aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de :

Passo 8

Substituímos na equação:
Para simplificar, podemos escrever de outra forma:

Resposta

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