Em cada um dos exercícios abaixo calcule o limite (se existir) das funções no ponto a indicado. Se o limite não existir, explique por quê.
  1. a = 1, f(x) = (3x - 5) / (2x + 1), x ∈ R \ {-1/2}
  2. a = pi, f(x) = ln(x) * sen(x), x in (0, infinito)
  3. a = pi / 4, f(x) = cos(x) - sen(x), x ∈ R
  4. a = 1+, f(x) = ln(x) / e^x, x > 1
  5. a = 2, f(x) = { 2x + 1 se x > 2, 3x - 1 se x < 2 }
  6. a = 2, f(x) = { 2x + 3 se x > 2, 3x - 1 se x < 2 }

Passo 1

Vamos resolver o primeiro exercício. A gente precisa calcular o limite da função quando se aproxima de 1. Para isso, vamos usar o conceito básico de limites de funções racionais, que envolve substituir o valor de na função, desde que não cause divisão por zero.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir por 1 na função:
Como a substituição não resulta em nenhuma indeterminação (como ), o limite existe e é simplesmente o valor obtido pela substituição.

Passo 3

Vamos para o segundo exercício. Precisamos calcular o limite da função quando se aproxima de . Aqui, vamos usar o conceito de limites envolvendo funções logarítmicas e trigonométricas.

Passo 4

Primeiro, vamos analisar cada parte da função separadamente:
  • é a função logarítmica natural, definida para .
  • é a função seno, que é contínua para todos os reais.
Como , podemos substituir diretamente por :

Passo 5

Agora, vamos resolver o terceiro exercício. A gente precisa calcular o limite da função quando se aproxima de . Usaremos propriedades de funções trigonométricas contínuas.

Passo 6

Como tanto o cosseno quanto o seno são funções contínuas, podemos substituir diretamente por :

Passo 7

Vamos para o quarto exercício. Precisamos encontrar o limite da função quando se aproxima de 1 pela direita ( ). Vamos usar regras de limites que envolvem funções exponenciais e logarítmicas.

Passo 8

Primeiro, substituímos por 1 na função:
Como não há indeterminação, o limite existe e é igual a zero.

Passo 9

Vamos resolver o quinto exercício. Temos uma função definida por partes:
Precisamos calcular o limite quando se aproxima de 2. Como a função é definida de forma diferente à esquerda e à direita de 2, vamos analisar os limites laterais.

Passo 10

Primeiro, calculamos o limite pela direita ( ):
Agora, calculamos o limite pela esquerda ( ):
Como os limites laterais são iguais, o limite geral existe.

Passo 11

Por fim, vamos para o sexto exercício. A função é definida por:
Queremos calcular o limite quando se aproxima de 2. Assim como no exercício anterior, vamos verificar os limites laterais.

Passo 12

Primeiro, o limite pela direita ( ):
Agora, o limite pela esquerda ( ):
Como os limites laterais são diferentes (7 e 5), o limite geral não existe.

Resposta

ãã

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