Em cada um dos exercícios abaixo calcule o limite (se existir) das funções no ponto
indicado. Se o limite não existir, explique por quê.
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Passo 1
Vamos resolver o primeiro exercício. A gente precisa calcular o limite da função
quando
se aproxima de 1. Para isso, vamos usar o conceito básico de limites de funções racionais, que envolve substituir o valor de
na função, desde que não cause divisão por zero.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir
por 1 na função:
Como a substituição não resulta em nenhuma indeterminação (como
), o limite existe e é simplesmente o valor obtido pela substituição.
Passo 3
Vamos para o segundo exercício. Precisamos calcular o limite da função
quando
se aproxima de
. Aqui, vamos usar o conceito de limites envolvendo funções logarítmicas e trigonométricas.
Passo 4
Primeiro, vamos analisar cada parte da função separadamente:
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é a função logarítmica natural, definida para . -
é a função seno, que é contínua para todos os reais.
Como
, podemos substituir diretamente
por
:
Passo 5
Agora, vamos resolver o terceiro exercício. A gente precisa calcular o limite da função
quando
se aproxima de
. Usaremos propriedades de funções trigonométricas contínuas.
Passo 6
Como tanto o cosseno quanto o seno são funções contínuas, podemos substituir diretamente
por
:
Passo 7
Vamos para o quarto exercício. Precisamos encontrar o limite da função
quando
se aproxima de 1 pela direita (
). Vamos usar regras de limites que envolvem funções exponenciais e logarítmicas.
Passo 8
Primeiro, substituímos
por 1 na função:
Como não há indeterminação, o limite existe e é igual a zero.
Passo 9
Vamos resolver o quinto exercício. Temos uma função definida por partes:
Precisamos calcular o limite quando
se aproxima de 2. Como a função é definida de forma diferente à esquerda e à direita de 2, vamos analisar os limites laterais.
Passo 10
Primeiro, calculamos o limite pela direita (
):
Agora, calculamos o limite pela esquerda (
):
Como os limites laterais são iguais, o limite geral existe.
Passo 11
Por fim, vamos para o sexto exercício. A função é definida por:
Queremos calcular o limite quando
se aproxima de 2. Assim como no exercício anterior, vamos verificar os limites laterais.
Passo 12
Primeiro, o limite pela direita (
):
Agora, o limite pela esquerda (
):
Como os limites laterais são diferentes (7 e 5), o limite geral não existe.
Resposta
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Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
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Calcule os limites abaixo
Calcule os limites: