Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe. lim (x, y) (1,-1) x^2+y^2-2 x-2 yx^2+y^2-2 x+2 y+2

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente precisa encontrar o limite da função
lim (x, y) (1,-1) x^2+y^2-2 x-2 yx^2+y^2-2 x+2 y+2
Isso faz parte do estudo de limites em funções de duas variáveis, que é uma extensão dos limites em função de uma variável. Para resolver, vamos precisar entender um pouco de álgebra para simplificar expressões e verificar se o limite existe ao se aproximar do ponto (1, -1) de diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar tanto o numerador quanto o denominador da fração. Olha só o numerador:
x^2 + y^2 - 2x - 2y
Podemos completar o quadrado para facilitar a visualização:
x^2 - 2x + y^2 - 2y = (x - 1)^2 - 1 + (y - 1)^2 - 1 = (x - 1)^2 + (y - 1)^2 - 2
Então, o numerador simplifica para:
(x - 1)^2 + (y - 1)^2 - 2

Passo 3

Agora, vamos simplificar o denominador:
x^2 + y^2 - 2x + 2y + 2
Novamente, completando o quadrado:
x^2 - 2x + y^2 + 2y = (x - 1)^2 - 1 + (y + 1)^2 - 1 = (x - 1)^2 + (y + 1)^2 - 2
Então, o denominador fica:
(x - 1)^2 + (y + 1)^2 - 2 + 2 = (x - 1)^2 + (y + 1)^2

Passo 4

Agora que temos a fração simplificada, vamos reescrever o limite:
lim (x, y) (1,-1) (x - 1)^2 + (y - 1)^2 - 2(x - 1)^2 + (y + 1)^2
Para encontrar esse limite, precisamos analisar o comportamento da função quando (x, y) se aproxima de (1, -1). Um método comum é verificar se o limite é o mesmo quando nos aproximamos por diferentes caminhos.

Passo 5

Vamos testar dois caminhos diferentes para ver se o limite é o mesmo em ambos.
Caminho 1: Aproximar-se ao longo de y = -1.
Substituindo y = -1 na função:
(x - 1)^2 + (-1 - 1)^2 - 2(x - 1)^2 + (-1 + 1)^2 = (x - 1)^2 + 4 - 2(x - 1)^2 + 0 = (x - 1)^2 + 2(x - 1)^2
À medida que x → 1, (x - 1)^2 → 0, então:
0 + 20 infty
Caminho 2: Aproximar-se ao longo de x = 1.
Substituindo x = 1 na função:
(1 - 1)^2 + (y - 1)^2 - 2(1 - 1)^2 + (y + 1)^2 = 0 + (y - 1)^2 - 20 + (y + 1)^2 = (y - 1)^2 - 2(y + 1)^2
À medida que y → -1, substituímos y = -1:
(-1 - 1)^2 - 2(-1 + 1)^2 = 4 - 20 infty

Passo 6

Observamos que, em ambos os caminhos testados, o limite tende para infinito. No entanto, para termos certeza de que o limite existe, precisamos verificar se esse comportamento se mantém para todos os caminhos possíveis.
Vamos considerar um caminho geral onde x = 1 + h e y = -1 + k, com h e k tendendo a 0. Substituindo na função:
h^2 + (-1 + k - 1)^2 - 2h^2 + (-1 + k + 1)^2 = h^2 + (k - 2)^2 - 2h^2 + k^2
À medida que h e k tendem a 0:
0 + ( -2)^2 - 20 + 0 = 4 - 20 = 20 infty
Isso indica que, independentemente do caminho escolhido, o limite tende para infinito.

Resposta

O limite não existe porque a função tende ao infinito quando se aproxima do ponto (1, -1).

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Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe. lim (x, y) (0,1) x y-xx^2+y^2-2 y+1
Em cada um dos exercícios abaixo calcule o limite (se existir) das funções no ponto a indicado. Se o limite não existir, explique por quê.
  1. a = 1, f(x) = (3x - 5) / (2x + 1), x ∈ R \ {-1/2}
  2. a = pi, f(x) = ln(x) * sen(x), x in (0, infinito)
  3. a = pi / 4, f(x) = cos(x) - sen(x), x ∈ R
  4. a = 1+, f(x) = ln(x) / e^x, x > 1
  5. a = 2, f(x) = { 2x + 1 se x > 2, 3x - 1 se x < 2 }
  6. a = 2, f(x) = { 2x + 3 se x > 2, 3x - 1 se x < 2 }