Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente precisa encontrar o limite da função
Isso faz parte do estudo de limites em funções de duas variáveis, que é uma extensão dos limites em função de uma variável. Para resolver, vamos precisar entender um pouco de álgebra para simplificar expressões e verificar se o limite existe ao se aproximar do ponto (1, -1) de diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar tanto o numerador quanto o denominador da fração. Olha só o numerador:
Podemos completar o quadrado para facilitar a visualização:
Então, o numerador simplifica para:
Passo 3
Agora, vamos simplificar o denominador:
Novamente, completando o quadrado:
Então, o denominador fica:
Passo 4
Agora que temos a fração simplificada, vamos reescrever o limite:
Para encontrar esse limite, precisamos analisar o comportamento da função quando (x, y) se aproxima de (1, -1). Um método comum é verificar se o limite é o mesmo quando nos aproximamos por diferentes caminhos.
Passo 5
Vamos testar dois caminhos diferentes para ver se o limite é o mesmo em ambos.
Caminho 1: Aproximar-se ao longo de y = -1.
Substituindo y = -1 na função:
À medida que x → 1, (x - 1)^2 → 0, então:
Caminho 2: Aproximar-se ao longo de x = 1.
Substituindo x = 1 na função:
À medida que y → -1, substituímos y = -1:
Passo 6
Observamos que, em ambos os caminhos testados, o limite tende para infinito. No entanto, para termos certeza de que o limite existe, precisamos verificar se esse comportamento se mantém para todos os caminhos possíveis.
Vamos considerar um caminho geral onde x = 1 + h e y = -1 + k, com h e k tendendo a 0. Substituindo na função:
À medida que h e k tendem a 0:
Isso indica que, independentemente do caminho escolhido, o limite tende para infinito.
Resposta
O limite não existe porque a função tende ao infinito quando se aproxima do ponto (1, -1).
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Em cada um dos exercícios abaixo calcule o limite (se existir) das funções no ponto
indicado. Se o limite não existir, explique por quê.