Calcule os limites abaixo
  1. lim x 0 x sen(x)
  2. lim x +infty 4 x^3+3 x+sen(x)3 x^3-x^2
  3. lim x -infty x^2+3 x+2 sen(e^x) cos (x)x^2+2 x

Passo 1

Vamos resolver três limites diferentes envolvendo funções trigonométricas e polinômios. Para isso, vamos precisar entender conceitos de limites, comportamento de funções trigonométricas próximas a certos pontos e análise de termos dominantes em polinômios. Vamos resolver cada limite passo a passo.

Passo 2

1.

Entendendo o problema:
Queremos encontrar o limite do produto de lim x 0 x sen(x) e quando sen(x) approx x quando x to 0 se aproxima de 0. Aqui, usamos a função senoidal e propriedades dos limites.
Resolução:
Sabemos que pode ser aproximado por x sen(x) approx x cdot x = x^2 quando limx to 0 x^2 = 0 está próximo de 0, ou seja:
Portanto, substituindo na expressão do limite:
Agora, calculamos o limite de quando :

Passo 3

2.

Entendendo o problema:
Aqui, queremos o limite de uma função racional (quociente de polinômios) quando lim x +infty 4 x^3+3 x+sen(x)3 x^3-x^2 tende ao infinito positivo. Para isso, analisamos os termos de maior grau nos polinômios do numerador e denominador.
Resolução:
Observamos os termos de maior grau no numerador e denominador:
  • Numerador: limx to +infty 4x^33x^3 = 43
  • Denominador:
Os outros termos ( , , ) tornam-se insignificantes comparados a quando cresce muito.
Portanto, podemos simplificar o limite para:

Passo 4

3.

Entendendo o problema:
Queremos o limite de uma função racional quando lim x -infty x^2+3 x+2 sen(e^x) cos (x)x^2+2 x tende a menos infinito. Analisamos novamente os termos de maior grau nos polinômios e o comportamento das funções trigonométricas envolvidas.
Resolução:
Primeiro, observamos que limx to -infty x^2x^2 = 1 tende a 0 quando , então também tende a 0, pois . Assim, o termo se aproxima de 0.
Agora, focamos nos termos de maior grau:
  • Numerador:
  • Denominador:
Simplificando:

Resposta

Exercícios relacionados

Em cada um dos exercícios abaixo calcule o limite (se existir) das funções no ponto a indicado. Se o limite não existir, explique por quê.
  1. a = 1, f(x) = (3x - 5) / (2x + 1), x ∈ R \ {-1/2}
  2. a = pi, f(x) = ln(x) * sen(x), x in (0, infinito)
  3. a = pi / 4, f(x) = cos(x) - sen(x), x ∈ R
  4. a = 1+, f(x) = ln(x) / e^x, x > 1
  5. a = 2, f(x) = { 2x + 1 se x > 2, 3x - 1 se x < 2 }
  6. a = 2, f(x) = { 2x + 3 se x > 2, 3x - 1 se x < 2 }
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe. lim (x, y) (0,1) x y-xx^2+y^2-2 y+1
Calcule os limites:
  1. lim x 1^+ 1|x-1|
  2. lim x 3^- 2 x+7(3-x)^2
  3. lim x 5^- x-5|x^2-7 x+10|
  4. lim x +infty (x+1)^2x
  5. lim x -infty raiz[3]x^5+3 x-8
  6. lim x +infty x-5x^2+3 x+4
  7. lim x -infty x-37 x+2
  8. lim x +infty x^2-23-x
  9. lim x -infty x+2raiz9 x^2-3
  10. lim x -infty 9 x+3raiz[3]8 x^3-3
  11. lim x +infty raizx+raizxraizx+1
  12. lim x +infty x(raizx^2+5-x)
  13. lim x -infty(raiz[3]x^3+2-raiz[3]x^3-2)
Seja f: R R tal que |f(x)| <= x^4 para todo x in R. Calcule lim x 0 f(x)x.