Calcule os limites abaixo
-
-
-
Passo 1
Vamos resolver três limites diferentes envolvendo funções trigonométricas e polinômios. Para isso, vamos precisar entender conceitos de limites, comportamento de funções trigonométricas próximas a certos pontos e análise de termos dominantes em polinômios. Vamos resolver cada limite passo a passo.
Passo 2
1.
Entendendo o problema:
Queremos encontrar o limite do produto de e quando
se aproxima de 0. Aqui, usamos a função senoidal e propriedades dos limites.
Queremos encontrar o limite do produto de
Resolução:
Sabemos que pode ser aproximado por quando
está próximo de 0, ou seja:
Sabemos que pode ser aproximado por
Portanto, substituindo na expressão do limite:
Agora, calculamos o limite de
quando
:
Passo 3
2.
Entendendo o problema:
Aqui, queremos o limite de uma função racional (quociente de polinômios) quando tende ao infinito positivo. Para isso, analisamos os termos de maior grau nos polinômios do numerador e denominador.
Aqui, queremos o limite de uma função racional (quociente de polinômios) quando
Resolução:
Observamos os termos de maior grau no numerador e denominador:
Observamos os termos de maior grau no numerador e denominador:
- Numerador:
- Denominador:
Os outros termos (
, , ) tornam-se insignificantes comparados a
quando
cresce muito.
Portanto, podemos simplificar o limite para:
Passo 4
3.
Entendendo o problema:
Queremos o limite de uma função racional quando tende a menos infinito. Analisamos novamente os termos de maior grau nos polinômios e o comportamento das funções trigonométricas envolvidas.
Queremos o limite de uma função racional quando
Resolução:
Primeiro, observamos que tende a 0 quando
, então também tende a 0, pois . Assim, o termo se aproxima de 0.
Primeiro, observamos que
Agora, focamos nos termos de maior grau:
- Numerador:
- Denominador:
Simplificando:
Resposta
Exercícios relacionados
Em cada um dos exercícios abaixo calcule o limite (se existir) das funções no ponto
indicado. Se o limite não existir, explique por quê.
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Calcule os limites:
Seja
tal que
para todo
. Calcule
.