Calcule os limites abaixo
  1. lim x 0 x sen(x)
  2. lim x +infty 4 x^3+3 x+sen(x)3 x^3-x^2
  3. lim x -infty x^2+3 x+2 sen(e^x) cos (x)x^2+2 x

Passo 1

Vamos resolver três limites diferentes envolvendo funções trigonométricas e polinômios. Para isso, vamos precisar entender conceitos de limites, comportamento de funções trigonométricas próximas a certos pontos e análise de termos dominantes em polinômios. Vamos resolver cada limite passo a passo.

Passo 2

1.

Entendendo o problema:
Queremos encontrar o limite do produto de lim x 0 x sen(x) e quando sen(x) approx x quando x to 0 se aproxima de 0. Aqui, usamos a função senoidal e propriedades dos limites.
Resolução:
Sabemos que pode ser aproximado por x sen(x) approx x cdot x = x^2 quando limx to 0 x^2 = 0 está próximo de 0, ou seja:
Portanto, substituindo na expressão do limite:
Agora, calculamos o limite de quando :

Passo 3

2.

Entendendo o problema:
Aqui, queremos o limite de uma função racional (quociente de polinômios) quando lim x +infty 4 x^3+3 x+sen(x)3 x^3-x^2 tende ao infinito positivo. Para isso, analisamos os termos de maior grau nos polinômios do numerador e denominador.
Resolução:
Observamos os termos de maior grau no numerador e denominador:
  • Numerador: limx to +infty 4x^33x^3 = 43
  • Denominador:
Os outros termos ( , , ) tornam-se insignificantes comparados a quando cresce muito.
Portanto, podemos simplificar o limite para:

Passo 4

3.

Entendendo o problema:
Queremos o limite de uma função racional quando lim x -infty x^2+3 x+2 sen(e^x) cos (x)x^2+2 x tende a menos infinito. Analisamos novamente os termos de maior grau nos polinômios e o comportamento das funções trigonométricas envolvidas.
Resolução:
Primeiro, observamos que limx to -infty x^2x^2 = 1 tende a 0 quando , então também tende a 0, pois . Assim, o termo se aproxima de 0.
Agora, focamos nos termos de maior grau:
  • Numerador:
  • Denominador:
Simplificando:

Resposta

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