Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que foi pedido: temos que encontrar o limite da função
quando
se aproxima de
. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de limites de funções de duas variáveis, analisando como a função se comporta ao nos aproximarmos do ponto
por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração:
. Observamos que podemos reescrever essa expressão completando o quadrado para
:
Então, o denominador fica:
Agora, a função fica:
Passo 3
Para analisar o limite, vamos considerar diferentes caminhos pelos quais
se aproxima de
.
Caminho 1:
Substituindo
na função:
Então, pelo caminho
, o limite é 0.
Caminho 2:
, onde
é uma constante
Substituindo
na função:
Aqui, o limite depende do valor de
. Por exemplo:
- Se
, o limite é 0. - Se
, o limite é .
Como o limite varia com diferentes valores de
, ele não é o mesmo para todos os caminhos.
Resposta
O limite não existe porque assume valores diferentes dependendo do caminho de aproximação.
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Em cada um dos exercícios abaixo calcule o limite (se existir) das funções no ponto
indicado. Se o limite não existir, explique por quê.
Calcule os limites abaixo