Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe. lim (x, y) (0,1) x y-xx^2+y^2-2 y+1

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que foi pedido: temos que encontrar o limite da função quando se aproxima de . Para resolver isso, vamos usar os conceitos de limites de funções de duas variáveis, analisando como a função se comporta ao nos aproximarmos do ponto por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração: y^2 - 2y +1 = (y - 1)^2 . Observamos que podemos reescrever essa expressão completando o quadrado para x^2 + (y - 1)^2 :
x y - xx^2 + (y - 1)^2 = x(y - 1)x^2 + (y - 1)^2
Então, o denominador fica:
Agora, a função fica:

Passo 3

Para analisar o limite, vamos considerar diferentes caminhos pelos quais x(1 - 1)x^2 + (1 - 1)^2 = 0x^2 = 0 se aproxima de x((1 + kx) - 1)x^2 + ((1 + kx) - 1)^2 = x(kx)x^2 + (kx)^2 = kx^2x^2(1 + k^2) = k1 + k^2 .
Caminho 1:
Substituindo na função:
Então, pelo caminho , o limite é 0.
Caminho 2: , onde é uma constante
Substituindo na função:
Aqui, o limite depende do valor de . Por exemplo:
  • Se , o limite é 0.
  • Se , o limite é .
Como o limite varia com diferentes valores de , ele não é o mesmo para todos os caminhos.

Resposta

O limite não existe porque assume valores diferentes dependendo do caminho de aproximação.

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Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe. lim (x, y) (1,-1) x^2+y^2-2 x-2 yx^2+y^2-2 x+2 y+2
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe. lim (x, y) (0,0) x y+1x^2+y^2+1
Em cada um dos exercícios abaixo calcule o limite (se existir) das funções no ponto a indicado. Se o limite não existir, explique por quê.
  1. a = 1, f(x) = (3x - 5) / (2x + 1), x ∈ R \ {-1/2}
  2. a = pi, f(x) = ln(x) * sen(x), x in (0, infinito)
  3. a = pi / 4, f(x) = cos(x) - sen(x), x ∈ R
  4. a = 1+, f(x) = ln(x) / e^x, x > 1
  5. a = 2, f(x) = { 2x + 1 se x > 2, 3x - 1 se x < 2 }
  6. a = 2, f(x) = { 2x + 3 se x > 2, 3x - 1 se x < 2 }
Calcule os limites abaixo
  1. lim x 0 x sen(x)
  2. lim x +infty 4 x^3+3 x+sen(x)3 x^3-x^2
  3. lim x -infty x^2+3 x+2 sen(e^x) cos (x)x^2+2 x