Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe. lim (x, y) (0,1) x y-xx^2+y^2-2 y+1

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que foi pedido: temos que encontrar o limite da função quando se aproxima de . Para resolver isso, vamos usar os conceitos de limites de funções de duas variáveis, analisando como a função se comporta ao nos aproximarmos do ponto por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração: y^2 - 2y +1 = (y - 1)^2 . Observamos que podemos reescrever essa expressão completando o quadrado para x^2 + (y - 1)^2 :
x y - xx^2 + (y - 1)^2 = x(y - 1)x^2 + (y - 1)^2
Então, o denominador fica:
Agora, a função fica:

Passo 3

Para analisar o limite, vamos considerar diferentes caminhos pelos quais x(1 - 1)x^2 + (1 - 1)^2 = 0x^2 = 0 se aproxima de x((1 + kx) - 1)x^2 + ((1 + kx) - 1)^2 = x(kx)x^2 + (kx)^2 = kx^2x^2(1 + k^2) = k1 + k^2 .
Caminho 1:
Substituindo na função:
Então, pelo caminho , o limite é 0.
Caminho 2: , onde é uma constante
Substituindo na função:
Aqui, o limite depende do valor de . Por exemplo:
  • Se , o limite é 0.
  • Se , o limite é .
Como o limite varia com diferentes valores de , ele não é o mesmo para todos os caminhos.

Resposta

O limite não existe porque assume valores diferentes dependendo do caminho de aproximação.

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