Em cada um dos exercícios, determine a solução do problema de valor inicial dado: d y/d t + y = 1/(1+t^2), y(1) = 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial com a condição inicial . Isso é um problema de equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, a gente identifica a forma padrão da equação diferencial linear: . Aqui, e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante. Ele é dado por . Nesse caso:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para:

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a t:
O lado esquerdo simplifica para . O lado direito não tem uma integral elementar, mas vamos deixar assim por enquanto.

Passo 6

A gente tem então:
Onde C é a constante de integração. Essa integral pode ser expressa em termos de funções especiais, mas para nosso propósito, vamos focar na solução geral.

Passo 7

Para encontrar y(t), dividimos ambos os lados por e^t:

Passo 8

Agora, aplicamos a condição inicial . Substituindo na equação:
Simplificando:

Passo 9

Resolvendo para C:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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