Em cada um dos exercícios, determine a solução do problema de valor inicial dado:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial
com a condição inicial
. Isso é um problema de equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante.
Passo 2
Primeiro, a gente identifica a forma padrão da equação diferencial linear:
. Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante. Ele é dado por
. Nesse caso:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo simplifica para
. O lado direito não tem uma integral elementar, mas vamos deixar assim por enquanto.
Passo 6
A gente tem então:
Onde
é a constante de integração. Essa integral pode ser expressa em termos de funções especiais, mas para nosso propósito, vamos focar na solução geral.
Passo 7
Para encontrar
, dividimos ambos os lados por
:
Passo 8
Agora, aplicamos a condição inicial
. Substituindo
na equação:
Simplificando:
Passo 9
Resolvendo para
:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Em cada um dos exercícios, determine a solução do problema de valor inicial dado:
Determine a ordem das equações e diga se são lineares ou não lineares.
.
Resolva a equação linear