Resolva a equação linear
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial linear:
Esse tipo de equação pertence ao conteúdo de Equações Diferenciais Lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que nos ajuda a transformar a equação em uma forma mais simples para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, identificamos as funções que compõem a equação. A equação está na forma padrão:
Aqui, temos:
e
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é uma função que vai nos ajudar a simplificar a equação. O fator integrante, μ(x), é dado por:
Vamos calcular a integral de
:
Portanto, o fator integrante é:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
A equação agora fica:
Isso acontece porque o lado esquerdo é a derivada do produto do fator integrante pela função
.
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados da equação em relação a
:
A integral do lado esquerdo simplesmente retorna
, e a integral do lado direito é:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Distribuindo os termos:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.