Resolva a equação linear
d y/d x - 1/(x+1) y = (x+1)^2, x > -1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial linear:
Esse tipo de equação pertence ao conteúdo de Equações Diferenciais Lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que nos ajuda a transformar a equação em uma forma mais simples para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, identificamos as funções que compõem a equação. A equação está na forma padrão:
Aqui, temos:
e

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é uma função que vai nos ajudar a simplificar a equação. O fator integrante, μ(x), é dado por:
Vamos calcular a integral de :
Portanto, o fator integrante é:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
A equação agora fica:
Isso acontece porque o lado esquerdo é a derivada do produto do fator integrante pela função .

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados da equação em relação a :
A integral do lado esquerdo simplesmente retorna , e a integral do lado direito é:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Isolamos dividindo ambos os lados por :
Multiplicando ambos os lados por :
Distribuindo os termos:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

Em cada um dos exercícios, determine a solução do problema de valor inicial dado: d y/d t + y = 1/(1+t^2), y(1) = 2.
Em cada um dos exercícios, determine a solução do problema de valor inicial dado: d y/d t - 2 t y = t, y(0) = 1
f(t) = { 1, 0 <= t < 1; -1, 1 <= t < 2; 1, 2 <= t < 3; -1, 3 <= t < 4; 0, t >= 4 }
Desenhe diversos exemplos da família de curvas integrais. y' - 1/x * y = x