Em cada um dos exercícios a seguir encontre a solução do P.V.I.
y'' + 4y' + 4y = 0, y(-1) = 2, y'(-1) = 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema envolvendo uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O enunciado é:
A matéria que vamos usar aqui é sobre equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar identificar a equação característica, encontrar suas raízes e, com base nisso, construir a solução geral. Depois, aplicamos as condições iniciais para encontrar os valores das constantes na solução.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica dessa equação diferencial. Para uma equação da forma , a equação característica é:
No nosso caso, e , então a equação característica fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes . A gente pode usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , , e . Substituindo:
Então, temos uma raiz dupla .

Passo 4

Como a equação característica tem uma raiz dobrada, a solução geral da equação diferencial é:
Aqui, e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Vamos agora aplicar as condições iniciais para encontrar e .
Primeira condição:
Substituindo na solução geral:
Segunda condição:
Primeiro, precisamos encontrar a derivada de :
Agora, substituindo :

Passo 6

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos simplificar dividindo ambas as equações por :
Agora, podemos resolver esse sistema. Da primeira equação, isolamos :
Substituímos na segunda equação:
Agora, encontramos :

Resposta

Substituindo e na solução geral, a solução do problema inicial é:

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