Verifique se as seguintes séries são convergentes ou divergentes? Justifique sua resposta:
Passo 1
Vamos verificar se a série converge ou diverge. Para isso, vamos utilizar o Teste da Razão, que é uma ferramenta comum no estudo de séries para determinar sua convergência ou divergência.
Passo 2
O Teste da Razão nos ajuda a analisar o limite do quociente entre termos consecutivos da série. Vamos calcular:
onde .
Passo 3
Primeiro, substituímos an+1an = (n+1)!3^n+1(n+1)^n+1 cdot n^nn!3^n = 3 cdot n+1(n+1)^n+1 cdot n^n e na expressão:
Passo 4
Simplificamos a expressão:
an+1an = 3 cdot n^n(n+1)^n = 3 ( nn+1 )^n
Passo 5
Agora, observamos que limn to infty (1 - 1n+1)^n = 1e pode ser reescrito como . Sabemos que:
onde .
Passo 6
Aplicando o limite:
L = limn to infty 3 ( nn+1 )^n = 3 cdot 1e approx 3 cdot 0.3679 approx 1.1037
Passo 7
Segundo o Teste da Razão, se , a série diverge. No nosso caso, .
Resposta
A série diverge pelo Teste da Razão, já que o limite é maior que 1.