Verifique se as seguintes séries são convergentes ou divergentes? Justifique sua resposta: sumn=1^infty n!3^nn^n

Passo 1

Vamos verificar se a série converge ou diverge. Para isso, vamos utilizar o Teste da Razão, que é uma ferramenta comum no estudo de séries para determinar sua convergência ou divergência.

Passo 2

O Teste da Razão nos ajuda a analisar o limite do quociente entre termos consecutivos da série. Vamos calcular:
L = limn to infty | an+1an |
onde .

Passo 3

Primeiro, substituímos an+1an = (n+1)!3^n+1(n+1)^n+1 cdot n^nn!3^n = 3 cdot n+1(n+1)^n+1 cdot n^n e na expressão:

Passo 4

Simplificamos a expressão:
an+1an = 3 cdot n^n(n+1)^n = 3 ( nn+1 )^n

Passo 5

Agora, observamos que limn to infty (1 - 1n+1)^n = 1e pode ser reescrito como . Sabemos que:
onde .

Passo 6

Aplicando o limite:
L = limn to infty 3 ( nn+1 )^n = 3 cdot 1e approx 3 cdot 0.3679 approx 1.1037

Passo 7

Segundo o Teste da Razão, se , a série diverge. No nosso caso, .

Resposta

A série diverge pelo Teste da Razão, já que o limite é maior que 1.

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