Determine a derivada direcional de no ponto dado e na direção indicada pelo ângulo .
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a derivada direcional da função no ponto e na direção do ângulo . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas direcionais, que envolvem cálculo de derivadas parciais, gradiente e vetores unitários.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e a .
Derivada parcial em relação a :
Derivada parcial em relação a :
Passo 3
Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto .
Avaliando em :
Avaliando em :
Passo 4
O gradiente de no ponto é o vetor formado pelas derivadas parciais avaliadas:
Agora, precisamos encontrar o vetor unitário na direção do ângulo . As componentes desse vetor são dadas por e :
Passo 5
A derivada direcional de na direção de é o produto escalar entre o gradiente e o vetor unitário:
Resposta
A derivada direcional de no ponto na direção do ângulo é .