Determine a derivada direcional de
no ponto dado e na direção indicada pelo ângulo
.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a derivada direcional da função
no ponto
e na direção do ângulo
. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas direcionais, que envolvem cálculo de derivadas parciais, gradiente e vetores unitários.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e a
.
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto
.
- Avaliando
em :
- Avaliando
em :
Passo 4
O gradiente de
no ponto
é o vetor formado pelas derivadas parciais avaliadas:
Agora, precisamos encontrar o vetor unitário na direção do ângulo
. As componentes desse vetor são dadas por
e
:
Passo 5
A derivada direcional de
na direção de
é o produto escalar entre o gradiente e o vetor unitário:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção do ângulo
é
.