Determine a derivada direcional de f no ponto dado e na direção indicada pelo ângulo theta.
(a) f(x, y) = x^2 y^3 + 2 x^4 y, (1, -2), theta = pi / 3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a derivada direcional da função no ponto e na direção do ângulo . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas direcionais, que envolvem cálculo de derivadas parciais, gradiente e vetores unitários.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e a .
  • Derivada parcial em relação a :
  • Derivada parcial em relação a :

Passo 3

Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto .
  • Avaliando em :
  • Avaliando em :

Passo 4

O gradiente de no ponto é o vetor formado pelas derivadas parciais avaliadas:
Agora, precisamos encontrar o vetor unitário na direção do ângulo . As componentes desse vetor são dadas por e :

Passo 5

A derivada direcional de na direção de é o produto escalar entre o gradiente e o vetor unitário:

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção do ângulo é .

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