Determine a derivada direcional de no ponto dado e na direção indicada pelo ângulo .
(a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a derivada direcional da função no ponto e na direção do ângulo . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas direcionais, que envolvem cálculo de derivadas parciais, gradiente e vetores unitários.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e a .
  • Derivada parcial em relação a :
  • Derivada parcial em relação a :

Passo 3

Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto .
  • Avaliando em :
  • Avaliando em :

Passo 4

O gradiente de no ponto é o vetor formado pelas derivadas parciais avaliadas:
Agora, precisamos encontrar o vetor unitário na direção do ângulo . As componentes desse vetor são dadas por e :

Passo 5

A derivada direcional de na direção de é o produto escalar entre o gradiente e o vetor unitário:

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção do ângulo é .

Exercícios relacionados

Em cada um dos exercícios a seguir encontre a solução do P.V.I.
Determine as equações (i) do plano tangente e (ii) da reta normal para a superfície dada no ponto especificado.
(a)
Verifique se as seguintes séries são convergentes ou divergentes? Justifique sua resposta:
Em cada um dos exercícios a seguir encontre a solução do P.V.I.