Determine a derivada direcional de no ponto dado e na direção indicada pelo ângulo .
(d)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar a derivada direcional da função no ponto na direção indicada pelo ângulo . Para isso, vamos precisar entender o que é derivada direcional, como calcular o gradiente da função e como usar o ângulo dado para encontrar a direção correta.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a e .
A derivada parcial de em relação a é:
A derivada parcial de em relação a é:
Então, o gradiente é:

Passo 3

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto . Substituindo e nas expressões das derivadas parciais:
Portanto, o gradiente no ponto é:

Passo 4

Em seguida, vamos determinar a direção do vetor unitário associado ao ângulo . Um ângulo de radianos corresponde a 135 graus, que está na segunda quadrante do círculo trigonométrico.
As componentes do vetor unitário são dadas por:
Calculando:
Então, o vetor unitário é:

Passo 5

Finalmente, a derivada direcional é o produto escalar entre o gradiente no ponto e o vetor unitário :
Calculando o produto escalar:

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção do ângulo é .

Exercícios relacionados

Em cada um dos exercícios a seguir encontre a solução do P.V.I.
Verifique se as seguintes séries são convergentes ou divergentes? Justifique sua resposta:
(i) Determine o gradiente de .
(ii) Calcule o gradiente no ponto .
(iii) Determine a taxa de variação de na direção do vetor .
(d)
Verifique se as seguintes séries convergem absolutamente, condicionalmente ou diverge: