Determine a derivada direcional de
no ponto dado e na direção indicada pelo ângulo
.
(d)
(d)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar a derivada direcional da função
no ponto
na direção indicada pelo ângulo
. Para isso, vamos precisar entender o que é derivada direcional, como calcular o gradiente da função e como usar o ângulo dado para encontrar a direção correta.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a
e
.
A derivada parcial de
em relação a
é:
A derivada parcial de
em relação a
é:
Então, o gradiente
é:
Passo 3
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
. Substituindo
e
nas expressões das derivadas parciais:
Portanto, o gradiente no ponto
é:
Passo 4
Em seguida, vamos determinar a direção do vetor unitário associado ao ângulo
. Um ângulo de
radianos corresponde a 135 graus, que está na segunda quadrante do círculo trigonométrico.
As componentes do vetor unitário
são dadas por:
Calculando:
Então, o vetor unitário é:
Passo 5
Finalmente, a derivada direcional
é o produto escalar entre o gradiente
no ponto
e o vetor unitário
:
Calculando o produto escalar:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção do ângulo
é
.