(i) Determine o gradiente de .
(ii) Calcule o gradiente no ponto .
(iii) Determine a taxa de variação de na direção do vetor .
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o gradiente da função , calcular esse gradiente no ponto e descobrir a taxa de variação de em na direção do vetor . Para isso, vamos precisar entender o que é o gradiente e como calculá-lo, além de saber como usar esse gradiente para encontrar a taxa de variação na direção de um vetor específico.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de em relação às suas variáveis. Ou seja, para , o gradiente é dado por:
Passo 3
Vamos calcular cada derivada parcial:
Derivada parcial em relação a :
Porque ao derivar em relação a , temos , e ao derivar em relação a , temos .
Derivada parcial em relação a :
Aqui, derivando em relação a , obtemos , e derivando em relação a , temos .
Derivada parcial em relação a :
Derivando em relação a , temos , e derivando em relação a , temos .
Passo 4
Agora, juntando essas derivadas, o gradiente fica:
Passo 5
Vamos calcular o gradiente no ponto . Substituindo , , e na expressão do gradiente:
Primeira componente:
Segunda componente:
Terceira componente:
Então, o gradiente em é:
Passo 6
Agora, para encontrar a taxa de variação de em na direção do vetor , precisamos primeiro garantir que o vetor direção esteja completo e seja um vetor unitário. Parece que o vetor está faltando a componente em . Assumindo que seja , vamos seguir.
A taxa de variação na direção de é dada pelo produto escalar do gradiente com o vetor unitário :
Passo 7
Vamos garantir que é um vetor unitário. Calculando o comprimento de :
Para que seja unitário, dividimos cada componente por :