(i) Determine o gradiente de .
(ii) Calcule o gradiente no ponto .
(iii) Determine a taxa de variação de na direção do vetor .
(d)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o gradiente da função , calcular esse gradiente no ponto e descobrir a taxa de variação de em na direção do vetor . Para isso, vamos precisar entender o que é o gradiente e como calculá-lo, além de saber como usar esse gradiente para encontrar a taxa de variação na direção de um vetor específico.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de em relação às suas variáveis. Ou seja, para , o gradiente é dado por:

Passo 3

Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Derivada parcial em relação a :
Porque ao derivar em relação a , temos , e ao derivar em relação a , temos .
  1. Derivada parcial em relação a :
Aqui, derivando em relação a , obtemos , e derivando em relação a , temos .
  1. Derivada parcial em relação a :
Derivando em relação a , temos , e derivando em relação a , temos .

Passo 4

Agora, juntando essas derivadas, o gradiente fica:

Passo 5

Vamos calcular o gradiente no ponto . Substituindo , , e na expressão do gradiente:
  1. Primeira componente:
  1. Segunda componente:
  1. Terceira componente:
Então, o gradiente em é:

Passo 6

Agora, para encontrar a taxa de variação de em na direção do vetor , precisamos primeiro garantir que o vetor direção esteja completo e seja um vetor unitário. Parece que o vetor está faltando a componente em . Assumindo que seja , vamos seguir.
A taxa de variação na direção de é dada pelo produto escalar do gradiente com o vetor unitário :

Passo 7

Vamos garantir que é um vetor unitário. Calculando o comprimento de :
Para que seja unitário, dividimos cada componente por :

Passo 8

Agora, calculamos o produto escalar:

Resposta

A taxa de variação de em na direção do vetor é .

Exercícios relacionados

Determine a derivada direcional de no ponto dado e na direção indicada pelo ângulo .
(d)
Em cada um dos exercícios a seguir encontre a solução do P.V.I.
Verifique se as seguintes séries convergem absolutamente, condicionalmente ou diverge: