(i) Determine o gradiente de
.
(ii) Calcule o gradiente no ponto
.
(iii) Determine a taxa de variação de
na direção do vetor
.
(d)
(ii) Calcule o gradiente no ponto
(iii) Determine a taxa de variação de
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o gradiente da função
, calcular esse gradiente no ponto
e descobrir a taxa de variação de
em
na direção do vetor
. Para isso, vamos precisar entender o que é o gradiente e como calculá-lo, além de saber como usar esse gradiente para encontrar a taxa de variação na direção de um vetor específico.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de
em relação às suas variáveis. Ou seja, para
, o gradiente
é dado por:
Passo 3
Vamos calcular cada derivada parcial:
- Derivada parcial em relação a
:
Porque ao derivar
em relação a
, temos
, e ao derivar
em relação a
, temos
.
- Derivada parcial em relação a
:
Aqui, derivando
em relação a
, obtemos
, e derivando
em relação a
, temos
.
- Derivada parcial em relação a
:
Derivando
em relação a
, temos
, e derivando
em relação a
, temos
.
Passo 4
Agora, juntando essas derivadas, o gradiente fica:
Passo 5
Vamos calcular o gradiente no ponto
. Substituindo
,
, e
na expressão do gradiente:
- Primeira componente:
- Segunda componente:
- Terceira componente:
Então, o gradiente em
é:
Passo 6
Agora, para encontrar a taxa de variação de
em
na direção do vetor
, precisamos primeiro garantir que o vetor direção esteja completo e seja um vetor unitário. Parece que o vetor
está faltando a componente em
. Assumindo que seja
, vamos seguir.
A taxa de variação na direção de
é dada pelo produto escalar do gradiente com o vetor unitário
:
Passo 7
Vamos garantir que
é um vetor unitário. Calculando o comprimento de
:
Para que
seja unitário, dividimos cada componente por
:
Passo 8
Agora, calculamos o produto escalar:
Resposta
A taxa de variação de
em
na direção do vetor
é
.