Em cada um dos exercícios a seguir encontre a solução do P.V.I.

Passo 1

Vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de valor inicial (P.V.I) para resolver uma equação diferencial. A equação que temos é:
Além disso, temos duas condições iniciais:
Então, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais de segunda ordem para encontrar a função que satisfaz essa equação e essas condições iniciais.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a solução geral da equação diferencial homogênea:
Para isso, vamos resolver a equação característica associada. A equação característica é obtida substituindo na equação diferencial, o que nos dá:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de . Usamos a fórmula de Bhaskara:
No nosso caso, , e . Substituindo:
A raiz d�� um número imaginário porque a raiz quadrada de um número negativo envolve (a unidade imaginária). Então:

Passo 4

Como as raízes são complexas, a solução geral da equação diferencial é da forma:
Onde e (das raízes ). Assim, nossa solução geral fica:

Passo 5

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de e . Primeiro, calculamos :
Sabemos que . Então:
Simplificando:
Agora, vamos calcular a derivada e aplicar a condição .
Primeiro, derivamos :
Aplicando :
Com encontrado, voltamos à equação :

Passo 6

Agora que temos e , substituímos esses valores na solução geral:

Resposta

A solução do P.V.I é:

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