Determine as equações (i) do plano tangente e (ii) da reta normal para a superfície dada no ponto especificado.
(a) x*y + y*z + z*x = 3, (1, 1, 1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de encontrar o plano tangente e a reta normal para a superfície no ponto . Isso está dentro da matéria de cálculo multivariável, onde usamos derivadas parciais para encontrar essas equações. Vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e usar elas para determinar o plano e a reta que buscamos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que o plano tangente a uma superfície em um ponto é um plano que “encosta” na superfície nesse ponto e tem a mesma inclinação da superfície naquele local. Para encontrar a equação do plano tangente, precisamos das derivadas parciais da função que define a superfície em relação a , e .

Passo 3

Vamos considerar a equação da superfície como uma função . Agora, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a , e :

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto :

Passo 5

Com as derivadas parciais calculadas, podemos escrever a equação do plano tangente usando a fórmula:
Substituindo e os valores das derivadas:

Passo 6

Simplificando a equação do plano tangente:

Passo 7

Agora, para encontrar a reta normal, precisamos saber que a reta normal passa pelo ponto dado e tem a direção do vetor normal ao plano tangente. Esse vetor normal é dado pelas derivadas parciais que calculamos, ou seja, .

Passo 8

Podemos simplificar o vetor normal dividindo por 2, ficando . A equação paramétrica da reta normal é:
onde é um parâmetro real.

Resposta

(i) A equação do plano tangente é .
(ii) A equação paramétrica da reta normal é:
onde é um parâmetro real.

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