Determine as equações (i) do plano tangente e (ii) da reta normal para a superfície dada no ponto especificado.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de encontrar o plano tangente e a reta normal para a superfície
no ponto
. Isso está dentro da matéria de cálculo multivariável, onde usamos derivadas parciais para encontrar essas equações. Vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e usar elas para determinar o plano e a reta que buscamos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que o plano tangente a uma superfície em um ponto é um plano que “encosta” na superfície nesse ponto e tem a mesma inclinação da superfície naquele local. Para encontrar a equação do plano tangente, precisamos das derivadas parciais da função que define a superfície em relação a
,
e
.
Passo 3
Vamos considerar a equação da superfície como uma função
. Agora, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
,
e
:
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto
:
Passo 5
Com as derivadas parciais calculadas, podemos escrever a equação do plano tangente usando a fórmula:
Substituindo
e os valores das derivadas:
Passo 6
Simplificando a equação do plano tangente:
Passo 7
Agora, para encontrar a reta normal, precisamos saber que a reta normal passa pelo ponto dado e tem a direção do vetor normal ao plano tangente. Esse vetor normal é dado pelas derivadas parciais que calculamos, ou seja,
.
Passo 8
Podemos simplificar o vetor normal dividindo por 2, ficando
. A equação paramétrica da reta normal é:
onde
é um parâmetro real.
Resposta
(i) A equação do plano tangente é
.
(ii) A equação paramétrica da reta normal é:
onde
é um parâmetro real.