Determine as equações (i) do plano tangente e (ii) da reta normal para a superfície dada no ponto especificado.
(a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de encontrar o plano tangente e a reta normal para a superfície no ponto . Isso está dentro da matéria de cálculo multivariável, onde usamos derivadas parciais para encontrar essas equações. Vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e usar elas para determinar o plano e a reta que buscamos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que o plano tangente a uma superfície em um ponto é um plano que “encosta” na superfície nesse ponto e tem a mesma inclinação da superfície naquele local. Para encontrar a equação do plano tangente, precisamos das derivadas parciais da função que define a superfície em relação a , e .

Passo 3

Vamos considerar a equação da superfície como uma função . Agora, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a , e :

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto :

Passo 5

Com as derivadas parciais calculadas, podemos escrever a equação do plano tangente usando a fórmula:
Substituindo e os valores das derivadas:

Passo 6

Simplificando a equação do plano tangente:

Passo 7

Agora, para encontrar a reta normal, precisamos saber que a reta normal passa pelo ponto dado e tem a direção do vetor normal ao plano tangente. Esse vetor normal é dado pelas derivadas parciais que calculamos, ou seja, .

Passo 8

Podemos simplificar o vetor normal dividindo por 2, ficando . A equação paramétrica da reta normal é:
onde é um parâmetro real.

Resposta

(i) A equação do plano tangente é .
(ii) A equação paramétrica da reta normal é:
onde é um parâmetro real.

Exercícios relacionados

Verifique se as seguintes séries são convergentes ou divergentes? Justifique sua resposta:
Determine a taxa de variação máxima de no ponto dado e a direção em que isso ocorre.
(a)
Em cada um dos exercícios a seguir encontre a solução do P.V.I.
Determine a derivada direcional de no ponto dado e na direção indicada pelo ângulo .
(a)