Verifique se as seguintes séries são convergentes ou divergentes? Justifique sua resposta:
Passo 1
Vamos dar uma olhada no exercício: precisamos verificar se a série
é convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e critérios de convergência, como o Teste da Comparação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os componentes da série. A função
(arctangente de n) é a função inversa da tangente, que para valores grandes de n, se comporta de maneira específica.
Passo 3
Sabemos que para valores grandes de n,
se aproxima de
. Ou seja, para n crescendo,
.
Passo 4
Então, podemos comparar nossa série com a série
. Essa é uma série p, onde
.
Passo 5
Sabemos que a série p converge se
. Como
, a série
é convergente.
Passo 6
Agora, usando o Teste da Comparação, já que
para todo
, e a série
converge, então nossa série original também converge.
Resposta
A série
é convergente.
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Em cada um dos exercícios a seguir encontre a solução do P.V.I.