Verifique se as seguintes séries são convergentes ou divergentes? Justifique sua resposta:

Passo 1

Vamos dar uma olhada no exercício: precisamos verificar se a série é convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e critérios de convergência, como o Teste da Comparação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os componentes da série. A função (arctangente de n) é a função inversa da tangente, que para valores grandes de n, se comporta de maneira específica.

Passo 3

Sabemos que para valores grandes de n, se aproxima de . Ou seja, para n crescendo, .

Passo 4

Então, podemos comparar nossa série com a série . Essa é uma série p, onde .

Passo 5

Sabemos que a série p converge se . Como , a série é convergente.

Passo 6

Agora, usando o Teste da Comparação, já que para todo , e a série converge, então nossa série original também converge.

Resposta

A série é convergente.

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