Verifique se as seguintes séries são convergentes ou divergentes? Justifique sua resposta: sumn=2^infty arctg nn^2

Passo 1

Vamos dar uma olhada no exercício: precisamos verificar se a série sumn=2^infty arctg nn^2 é convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e critérios de convergência, como o Teste da Comparação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os componentes da série. A função arctg n (arctangente de n) é a função inversa da tangente, que para valores grandes de n, se comporta de maneira específica.

Passo 3

Sabemos que para valores grandes de n, arctg n se aproxima de pi2. Ou seja, para n crescendo, arctg n approx pi2.

Passo 4

Então, podemos comparar nossa série com a série sumn=2^infty 1n^2. Essa é uma série p, onde p = 2.

Passo 5

Sabemos que a série p converge se p > 1. Como p = 2, a série sumn=2^infty 1n^2 é convergente.

Passo 6

Agora, usando o Teste da Comparação, já que arctg nn^2 <= pi/2n^2 para todo n >= 2, e a série sum 1n^2 converge, então nossa série original também converge.

Resposta

A série sumn=2^infty arctg nn^2 é convergente.

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