Em cada um dos exercícios a seguir encontre a solução do P.V.I.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema envolvendo uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O enunciado é: A matéria que vamos usar aqui é sobre **equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes**. Para resolver isso, vamos precisar identificar a equação característica, encontrar suas raízes e, com base nisso, construir a solução geral. Depois, aplicamos as condições iniciais para encontrar os valores das constantes na solução.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a **equação característica** dessa equação diferencial. Para uma equação da forma , a equação característica é: No nosso caso, e , então a equação característica fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes . A gente pode usar a fórmula de Bhaskara: Aqui, , , e . Substituindo: Então, temos uma **raiz dupla** .

Passo 4

Como a equação característica tem uma raiz dobrada, a solução geral da equação diferencial é: Aqui, e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Vamos agora aplicar as condições iniciais para encontrar e . Primeira condição: Substituindo na solução geral: Segunda condição: Primeiro, precisamos encontrar a derivada de : Agora, substituindo :

Passo 6

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas: Vamos simplificar dividindo ambas as equações por : Agora, podemos resolver esse sistema. Da primeira equação, isolamos : Substituímos na segunda equação: Agora, encontramos :

Resposta

Substituindo e na solução geral, a solução do problema inicial é:

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Verifique se as seguintes séries são convergentes ou divergentes? Justifique sua resposta:
Determine a derivada direcional de no ponto dado e na direção indicada pelo ângulo . (a)
Determine a derivada direcional de no ponto dado e na direção indicada pelo ângulo . (d)
(i) Determine o gradiente de . (ii) Calcule o gradiente no ponto . (iii) Determine a taxa de variação de na direção do vetor . (d)