Em cada um dos exercícios a seguir encontre a solução do P.V.I.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema envolvendo uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O enunciado é:
A matéria que vamos usar aqui é sobre **equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes**. Para resolver isso, vamos precisar identificar a equação característica, encontrar suas raízes e, com base nisso, construir a solução geral. Depois, aplicamos as condições iniciais para encontrar os valores das constantes na solução.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a **equação característica** dessa equação diferencial. Para uma equação da forma , a equação característica é:
No nosso caso, e , então a equação característica fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes . A gente pode usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , , e . Substituindo:
Então, temos uma **raiz dupla** .
Passo 4
Como a equação característica tem uma raiz dobrada, a solução geral da equação diferencial é:
Aqui, e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Vamos agora aplicar as condições iniciais para encontrar e .
Primeira condição:
Substituindo na solução geral:
Segunda condição:
Primeiro, precisamos encontrar a derivada de :
Agora, substituindo :
Passo 6
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos simplificar dividindo ambas as equações por :
Agora, podemos resolver esse sistema. Da primeira equação, isolamos :
Substituímos na segunda equação:
Agora, encontramos :
Resposta
Substituindo e na solução geral, a solução do problema inicial é: