Em cada um dos exercícios a seguir encontre a solução do P.V.I.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Temos um problema de valor inicial (P.V.I.) para resolver a equação diferencial:
com as condições iniciais:
O conteúdo que vamos utilizar aqui é Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem, especificamente as equações homogêneas com coeficientes constantes. Para resolver, precisamos encontrar a solução geral da equação diferencial e depois aplicar as condições iniciais para determinar as constantes.
Passo 2
Primeiro, encontramos a equação característica associada à equação diferencial. A equação característica para uma equação do tipo é:
No nosso caso, e , então a equação característica fica:
Passo 3
Resolvemos a equação quadrática para encontrar os valores de . Usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , , e . Calculando o discriminante:
Então, as raízes são:
Isso nos dá duas soluções:
Passo 4
Com as raízes e , a solução geral da equação diferencial homogênea é:
Aqui, e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Aplicamos a primeira condição inicial na solução geral:
Passo 6
Agora, derivamos a solução geral para encontrar :
Aplicamos a segunda condição inicial :
Passo 7
Temos agora um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema para encontrar e .