Em cada um dos exercícios a seguir encontre a solução do P.V.I.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Temos um problema de valor inicial (P.V.I.) para resolver a equação diferencial:
com as condições iniciais:
O conteúdo que vamos utilizar aqui é Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem, especificamente as equações homogêneas com coeficientes constantes. Para resolver, precisamos encontrar a solução geral da equação diferencial e depois aplicar as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

Primeiro, encontramos a equação característica associada à equação diferencial. A equação característica para uma equação do tipo é:
No nosso caso, e , então a equação característica fica:

Passo 3

Resolvemos a equação quadrática para encontrar os valores de . Usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , , e . Calculando o discriminante:
Então, as raízes são:
Isso nos dá duas soluções:

Passo 4

Com as raízes e , a solução geral da equação diferencial homogênea é:
Aqui, e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Aplicamos a primeira condição inicial na solução geral:

Passo 6

Agora, derivamos a solução geral para encontrar :
Aplicamos a segunda condição inicial :

Passo 7

Temos agora um sistema de duas equações com duas incógnitas:

Vamos resolver esse sistema para encontrar e .

Passo 8

Da segunda equação:
Substituímos na primeira equação:

Passo 9

Agora, encontramos usando :

Passo 10

Substituímos e na solução geral:

Resposta

A solução do P.V.I. é:

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Calcule as integrais definidas:
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Determine uma solução que satisfaz a condição inicial dada. , e
Determine se a série converge ou diverge. Tente usar o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite.
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