Determine se a série converge ou diverge. Tente usar o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite. .
Passo 1
Então, a gente tem uma série infinita para verificar se ela converge ou diverge. A série é:
Vamos usar o Teste da Comparação ou o Teste da Comparação pelo Limite para resolver isso. Esses testes ajudam a gente a comparar a série dada com outra série que a gente já sabe se converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para entender melhor. Olha só:
Como cresce, o termo no denominador fica menos significativo, então podemos aproximar:
Passo 3
Agora, vamos comparar isso com uma série geométrica que a gente conhece. A série geométrica é da forma:
onde é a constante e é a razão. Sabemos que uma série geométrica converge se e diverge se .
Passo 4
Na nossa comparação, temos:
Aqui, a razão é , que é maior que 1.
Passo 5
Como , a série geométrica correspondente:
diverge.
Passo 6
Pelo Teste da Comparação, se a série comparada diverge, então a série original também diverge.