Determine se a série converge ou diverge. Tente usar o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite.
.

Passo 1

Então, a gente tem uma série infinita para verificar se ela converge ou diverge. A série é:

Vamos usar o Teste da Comparação ou o Teste da Comparação pelo Limite para resolver isso. Esses testes ajudam a gente a comparar a série dada com outra série que a gente já sabe se converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para entender melhor. Olha só:

Como cresce, o termo no denominador fica menos significativo, então podemos aproximar:

Passo 3

Agora, vamos comparar isso com uma série geométrica que a gente conhece. A série geométrica é da forma:

onde é a constante e é a razão. Sabemos que uma série geométrica converge se e diverge se .

Passo 4

Na nossa comparação, temos:

Aqui, a razão é , que é maior que 1.

Passo 5

Como , a série geométrica correspondente:

diverge.

Passo 6

Pelo Teste da Comparação, se a série comparada diverge, então a série original também diverge.

Resposta

A série diverge.

Exercícios relacionados

Determine uma solução que satisfaz a condição inicial dada. , e
Em cada um dos exercícios a seguir encontre a solução do P.V.I.
Nos exercícios 1-22, encontre e .
Represente as seguintes funções em séries de potências de :
(g)