Determine se a série converge ou diverge. Tente usar o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite.
sumn=1^infty 4^n+13^n-2.

Passo 1

Então, a gente tem uma série infinita para verificar se ela converge ou diverge. A série é:
sumn=1^infty 4^n+13^n-2
Vamos usar o Teste da Comparação ou o Teste da Comparação pelo Limite para resolver isso. Esses testes ajudam a gente a comparar a série dada com outra série que a gente já sabe se converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para entender melhor. Olha só:
4^n+13^n-2 = 4 cdot 4^n3^n - 2
Como 4 cdot 4^n3^n = 4 cdot (43)^n cresce, o termo no denominador fica menos significativo, então podemos aproximar:

Passo 3

Agora, vamos comparar isso com uma série geométrica que a gente conhece. A série geométrica é da forma:
sumn=1^infty ar^n,
onde é a constante e é a razão. Sabemos que uma série geométrica converge se e diverge se .

Passo 4

Na nossa comparação, temos:
4 cdot (43)^n
Aqui, a razão é , que é maior que 1.

Passo 5

Como sumn=1^infty 4 cdot (43)^n, a série geométrica correspondente:

diverge.

Passo 6

Pelo Teste da Comparação, se a série comparada diverge, então a série original também diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty 4^n+13^n-2 diverge.

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