Determine uma solução que satisfaz a condição inicial dada. , e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a solução da equação diferencial dada que satisfaz a condição inicial . A equação é:
Para resolver isso, vamos usar equações diferenciais exatas, que são um método bacana para encontrar soluções quando a equação se encaixa em certas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para identificar os termos que vão nos ajudar a verificar se ela é exata. Multiplicamos ambos os lados por :
Reorganizando, temos:
Isso pode ser colocado na forma diferencial:
Aqui, identificamos e .

Passo 3

Agora, vamos verificar se essa equação é exata. Uma equação diferencial da forma é exata se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a .
Calculando:
Como , a equação é exata!

Passo 4

Como a equação é exata, existe uma função tal que:
Para encontrar , integramos em relação a :
Aqui, é uma função de que aparece pela integração.

Passo 5

Agora, derivamos em relação a para encontrar :
Sabemos que , então:
Isso implica que , ou seja, é uma constante. Vamos chamar essa constante de .

Passo 6

Assim, a solução geral da equação é:
Agora, usamos a condição inicial para encontrar o valor de .

Passo 7

Aplicando a condição inicial :

Passo 8

Portanto, a equação que relaciona e é:
Podemos resolver para isolando-o:

Resposta

A solução que satisfaz a condição inicial é:

Exercícios relacionados

Em cada um dos exercícios a seguir encontre a solução do P.V.I.
Calcule as integrais definidas:
Determine se a série converge ou diverge. Tente usar o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite.
.
Nos exercícios 1-22, encontre e .