Determine uma solução que satisfaz a condição inicial dada.
, e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a solução da equação diferencial dada que satisfaz a condição inicial
. A equação é:
Para resolver isso, vamos usar equações diferenciais exatas, que são um método bacana para encontrar soluções quando a equação se encaixa em certas condições.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para identificar os termos que vão nos ajudar a verificar se ela é exata. Multiplicamos ambos os lados por
:
Reorganizando, temos:
Isso pode ser colocado na forma diferencial:
Aqui, identificamos
e
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se essa equação é exata. Uma equação diferencial da forma
é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
.
Calculando:
Como
, a equação é exata!
Passo 4
Como a equação é exata, existe uma função
tal que:
Para encontrar
, integramos
em relação a
:
Aqui,
é uma função de
que aparece pela integração.
Passo 5
Agora, derivamos
em relação a
para encontrar
:
Sabemos que
, então:
Isso implica que
, ou seja,
é uma constante. Vamos chamar essa constante de
.
Passo 6
Assim, a solução geral da equação é:
Agora, usamos a condição inicial para encontrar o valor de
.
Passo 7
Aplicando a condição inicial
:
Passo 8
Portanto, a equação que relaciona
e
é:
Podemos resolver para
isolando-o:
Resposta
A solução que satisfaz a condição inicial é: