Determine uma solução que satisfaz a condição inicial dada. , e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a solução da equação diferencial dada que satisfaz a condição inicial . A equação é:
Para resolver isso, vamos usar equações diferenciais exatas, que são um método bacana para encontrar soluções quando a equação se encaixa em certas condições.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para identificar os termos que vão nos ajudar a verificar se ela é exata. Multiplicamos ambos os lados por :
Reorganizando, temos:
Isso pode ser colocado na forma diferencial:
Aqui, identificamos e .
Passo 3
Agora, vamos verificar se essa equação é exata. Uma equação diferencial da forma é exata se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a .
Calculando:
Como , a equação é exata!
Passo 4
Como a equação é exata, existe uma função tal que:
Para encontrar , integramos em relação a :
Aqui, é uma função de que aparece pela integração.
Passo 5
Agora, derivamos em relação a para encontrar :
Sabemos que , então:
Isso implica que , ou seja, é uma constante. Vamos chamar essa constante de .
Passo 6
Assim, a solução geral da equação é:
Agora, usamos a condição inicial para encontrar o valor de .