Calcule as integrais definidas: integral-1^0 x^2 raizx+1 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Esse exercício envolve Cálculo Integral, especificamente o cálculo de integrais definidas. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição e lembrar das regras básicas de integração de funções polinomiais e radicais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral usando uma substituição. Vamos deixar . Isso nos ajudará a facilitar a integração.

Passo 3

Com , derivando ambos os lados em relação a , temos .

Passo 4

Agora, vamos reescrever os limites da integral em termos de :
  • Quando , .
  • Quando , .
Então, nossa integral passa a ser de a .

Passo 5

Expressamos em termos de : . Então, .

Passo 6

Substituindo tudo na integral original:
integral-1^0 x^2 raizx+1 , dx = integral0^1 (u^2 - 2u + 1) raizu , du

Passo 7

Vamos distribuir integral0^1 (u^2 cdot u^1/2 - 2u cdot u^1/2 + 1 cdot u^1/2) , du = integral0^1 (u^5/2 - 2u^3/2 + u^1/2) , du na expressão dentro da integral:

Passo 8

Agora, integramos cada termo separadamente:
integral u^5/2 , du = 27u^7/2
integral u^3/2 , du = 25u^5/2
integral u^1/2 , du = 23u^3/2

Passo 9

Substituindo os limites de 0 a 1 em cada termo:
27u^7/2 |0^1 = 27(1) - 27(0) = 27
-2 cdot 25u^5/2 |0^1 = -45(1) + 45(0) = -45
23u^3/2 |0^1 = 23(1) - 23(0) = 23

Passo 10

Somando todos os resultados:
27 - 45 + 23
Para somar essas frações, vamos achar um denominador comum, que é 105:
27 = 30105, 45 = 84105, 23 = 70105
Então:
30105 - 84105 + 70105 = 16105

Resposta

A integral definida é igual a .

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