Calcule as integrais definidas:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Esse exercício envolve Cálculo Integral, especificamente o cálculo de integrais definidas. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição e lembrar das regras básicas de integração de funções polinomiais e radicais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral usando uma substituição. Vamos deixar . Isso nos ajudará a facilitar a integração.

Passo 3

Com , derivando ambos os lados em relação a , temos .

Passo 4

Agora, vamos reescrever os limites da integral em termos de :
  • Quando , .
  • Quando , .
Então, nossa integral passa a ser de a .

Passo 5

Expressamos em termos de : . Então, .

Passo 6

Substituindo tudo na integral original:

Passo 7

Vamos distribuir na expressão dentro da integral:

Passo 8

Agora, integramos cada termo separadamente:

Passo 9

Substituindo os limites de 0 a 1 em cada termo:

Passo 10

Somando todos os resultados:
Para somar essas frações, vamos achar um denominador comum, que é 105:
Então:

Resposta

A integral definida é igual a .

Exercícios relacionados

Calcule as integrais definidas:
Verifique se as funções abaixo são contínuas no ponto ( 0,0 ). Justifique.
Em cada um dos exercícios a seguir encontre a solução do P.V.I.
Determine uma solução que satisfaz a condição inicial dada. , e