Para cada função: f(x) = (1 + x^2) / (1 - x^2) g(x) = x tg(x), -pi/2 < x < pi/2 Encontre as assíntotas vertical e horizontal.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar as assíntotas vertical e horizontal das funções e , onde . Para isso, vamos usar conhecimentos de limites e comportamento das funções quando se aproxima de certos valores. Vamos passo a passo!

Passo 2

Vamos começar com a função . Primeiramente, precisamos identificar possíveis assíntotas verticais. Assíntotas verticais ocorrem quando o denominador se aproxima de zero, fazendo com que a função tenda ao infinito.

Passo 3

Para encontrar as assíntotas verticais de , igualamos o denominador a zero:
Portanto, temos potenciais assíntotas verticais em e .

Passo 4

Agora, vamos verificar se essas assíntotas realmente existem calculando os limites quando se aproxima de 1 e -1:
Assim, confirmamos que e são assíntotas verticais de .

Passo 5

Agora, vamos encontrar as assíntotas horizontais de . Assíntotas horizontais representam o comportamento da função quando tende ao infinito ou menos infinito. Para isso, calculamos o limite de quando tende a e :
Portanto, a assíntota horizontal de é .

Passo 6

Agora vamos para a função , definida no intervalo . Primeiro, vamos identificar possíveis assíntotas verticais. A função possui assíntotas verticais onde , ou seja, em . Porém, nosso intervalo está aberto nessas extremidades, então não possui assíntotas verticais dentro do intervalo dado.

Passo 7

Em seguida, vamos buscar as assíntotas horizontais de . Calculamos o limite de quando se aproxima de e :
Como os limites tendem ao infinito, não existem assíntotas horizontais para no intervalo considerado.

Resposta

Para a função :
  • Assíntotas verticais em e
  • Assíntota horizontal em
Para a função no intervalo :
  • Não possui assíntotas verticais
  • Não possui assíntotas horizontais

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