Esboce o gráfico de uma função que satisfaça todas as condições dadas:
para todo
, -Assíntota vertical
,
se
ou
,
se
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de gráficos de funções. Precisamos desenhar o gráfico de uma função que atende a várias condições sobre suas derivadas e uma assíntota vertical. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas primeira e segunda, que nos ajudam a entender se a função está aumentando ou diminuindo e se o gráfico é côncavo ou convexo em diferentes intervalos.
Passo 2
Primeiro, olhamos para a condição
para todo
. Isso significa que
, ou seja, a derivada primeira é negativa em todos os pontos menos em
. Quando a derivada primeira é negativa, a função está diminuindo. Portanto, nossa função está sempre descendo, exceto possivelmente em
.
Passo 3
A próxima condição é que a função tem uma assíntota vertical em
. Isso indica que, conforme nos aproximamos de
, o valor da função tende ao infinito ou menos infinito. A assíntota vertical divide o gráfico em duas partes: uma à esquerda de
e outra à direita.
Passo 4
Agora, consideramos a segunda derivada:
se
ou
, e
se
. Isso significa que:
- Para
e , temos , indicando que o gráfico é côncavo para baixo nesses intervalos. - Para
, temos , indicando que o gráfico é côncavo para cima nesse intervalo.
A concavidade nos ajuda a entender a “forma” do gráfico entre os intervalos.
Passo 5
Com todas essas informações, vamos esboçar o gráfico:
- Desenhamos uma assíntota vertical em
. - Para
, a função está sempre descendo e é côncava para baixo. - Entre
, a função continua descendo, mas agora é côncava para cima. - Para
, a função ainda está descendo e volta a ser côncava para baixo. - Não há pontos de extrema, pois a função está sempre diminuindo.
Resposta
O gráfico da função tem uma assíntota vertical em
, está sempre decrescente, é côncavo para baixo quando
ou
, e côncavo para cima entre
.
Exercícios relacionados
Dada a função.
Encontre os intervalos nos quais
é crescente ou decrescente.
Para cada função:
. Encontre os intervalos em que a função é crescente ou decrescente.
Para cada função:
Encontre as assíntotas vertical e horizontal.
Dada a função.
Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.