Esboce o gráfico de uma função que satisfaça todas as condições dadas: para todo , -Assíntota vertical , se ou , se .

Passo 1

Vamos resolver um exercício de gráficos de funções. Precisamos desenhar o gráfico de uma função que atende a várias condições sobre suas derivadas e uma assíntota vertical. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas primeira e segunda, que nos ajudam a entender se a função está aumentando ou diminuindo e se o gráfico é côncavo ou convexo em diferentes intervalos.

Passo 2

Primeiro, olhamos para a condição para todo . Isso significa que , ou seja, a derivada primeira é negativa em todos os pontos menos em . Quando a derivada primeira é negativa, a função está diminuindo. Portanto, nossa função está sempre descendo, exceto possivelmente em .

Passo 3

A próxima condição é que a função tem uma assíntota vertical em . Isso indica que, conforme nos aproximamos de , o valor da função tende ao infinito ou menos infinito. A assíntota vertical divide o gráfico em duas partes: uma à esquerda de e outra à direita.

Passo 4

Agora, consideramos a segunda derivada: se ou , e se . Isso significa que:
  • Para e , temos , indicando que o gráfico é côncavo para baixo nesses intervalos.
  • Para , temos , indicando que o gráfico é côncavo para cima nesse intervalo.
A concavidade nos ajuda a entender a “forma” do gráfico entre os intervalos.

Passo 5

Com todas essas informações, vamos esboçar o gráfico:
  1. Desenhamos uma assíntota vertical em .
  2. Para , a função está sempre descendo e é côncava para baixo.
  3. Entre , a função continua descendo, mas agora é côncava para cima.
  4. Para , a função ainda está descendo e volta a ser côncava para baixo.
  5. Não há pontos de extrema, pois a função está sempre diminuindo.

Resposta

O gráfico da função tem uma assíntota vertical em , está sempre decrescente, é côncavo para baixo quando ou , e côncavo para cima entre .

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