Dada a função. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisa descobrir onde ela é côncava para cima ou para baixo, além de encontrar os pontos de inflexão. Isso envolve estudar as derivadas dessa função, mais especificamente a segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada . Para isso, usamos a regra do quociente, que é aplicada quando temos uma função que é uma divisão de duas outras funções. A regra diz que:
Aqui, e . Vamos derivar cada parte:
Aplicando a regra do quociente:

Passo 3

Agora, vamos para a segunda derivada , que nos ajudará a determinar a concavidade da função. Novamente, vamos usar a regra do quociente para derivar .
Definindo e , temos:
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Fatorando:
Portanto:

Passo 4

Vamos analisar onde a segunda derivada é positiva ou negativa para determinar a concavidade.
O denominador é sempre positivo porque para qualquer real .
Então, o sinal de depende apenas do numerador :
  • Se (ou seja, ), então : a função é concava para cima nesse intervalo.
  • Se (ou seja, ), então : a função é concava para baixo nesse intervalo.
Assim, os intervalos de concavidade são:
  • Concava para cima:
  • Concava para baixo: e

Passo 5

Os pontos de inflexão ocorrem onde a concavidade muda, ou seja, onde a segunda derivada muda de sinal. Isso acontece nos valores de onde ou não está definida.
Como o denominador nunca é zero, consideramos apenas quando o numerador é zero:
Portanto, os pontos de inflexão estão em e .

Resposta

A função é:
  • Concava para cima no intervalo
  • Concava para baixo nos intervalos e
E possui pontos de inflexão em e .

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