Dada a função.
Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
e precisa descobrir onde ela é côncava para cima ou para baixo, além de encontrar os pontos de inflexão. Isso envolve estudar as derivadas dessa função, mais especificamente a segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada
. Para isso, usamos a regra do quociente, que é aplicada quando temos uma função que é uma divisão de duas outras funções. A regra diz que:
Aqui,
e
. Vamos derivar cada parte:
Aplicando a regra do quociente:
Passo 3
Agora, vamos para a segunda derivada
, que nos ajudará a determinar a concavidade da função. Novamente, vamos usar a regra do quociente para derivar
.
Definindo
e
, temos:
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Fatorando:
Portanto:
Passo 4
Vamos analisar onde a segunda derivada
é positiva ou negativa para determinar a concavidade.
O denominador
é sempre positivo porque
para qualquer real
.
Então, o sinal de
depende apenas do numerador
:
- Se
(ou seja, ), então : a função é concava para cima nesse intervalo. - Se
(ou seja, ), então : a função é concava para baixo nesse intervalo.
Assim, os intervalos de concavidade são:
- Concava para cima:
- Concava para baixo:
e
Passo 5
Os pontos de inflexão ocorrem onde a concavidade muda, ou seja, onde a segunda derivada muda de sinal. Isso acontece nos valores de
onde
ou não está definida.
Como o denominador nunca é zero, consideramos apenas quando o numerador é zero:
Portanto, os pontos de inflexão estão em
e
.
Resposta
A função
é:
- Concava para cima no intervalo
- Concava para baixo nos intervalos
e
E possui pontos de inflexão em
e
.
Exercícios relacionados
Para cada função:
Encontre as assíntotas vertical e horizontal.
Esboce o gráfico de uma função que satisfaça todas as condições dadas:
para todo
, -Assíntota vertical
,
se
ou
,
se
.
Para cada função:
. Encontre os valores máximos ou mínimos locais.
Para cada função:
Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.