Para cada função: . Encontre os valores máximos ou mínimos locais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou três funções diferentes e precisa encontrar os valores máximos ou mínimos locais de cada uma delas. Para isso, vamos usar o cálculo diferencial, que nos ajuda a encontrar esses pontos críticos analisando as derivadas das funções. Precisamos seguir alguns passos: derivar a função, encontrar onde a derivada é zero (pontos críticos) e então determinar se esses pontos são máximos ou mínimos.

Passo 2

Função 1:
Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a derivação. Podemos reescrever como , então:

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a . Para isso, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de é , onde e .
Primeiro, encontramos as derivadas de e :
Agora, aplicando a regra do produto:
Vamos simplificar isso:

Passo 4

Para encontrar os pontos críticos, vamos igualar a derivada a zero:
O numerador deve ser zero:
Agora, verificamos se está no domínio da função original . O termo dentro da raiz deve ser não negativo:
Como , é um ponto crítico válido.

Passo 5

Para determinar se é um máximo ou mínimo, podemos usar a segunda derivada ou analisar o comportamento da derivada primeira ao redor desse ponto. Vamos usar a segunda derivada.
Primeiro, encontramos a segunda derivada :
Agora, avaliamos :
Como a segunda derivada é positiva, é um mínimo local.

Passo 6

Função 2:
Vamos encontrar os pontos críticos dessa função. Primeiro, derivamos :

Passo 7

Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Então, ou .

Passo 8

Vamos determinar se esses pontos são máximos ou mínimos usando a segunda derivada.
Primeiro, encontramos :
Agora, avaliamos em cada ponto:
  1. Para :
Então, é um mínimo local.
  1. Para :
Então, é um máximo local.

Passo 9

Função 3:
Vamos encontrar os pontos críticos dessa função no intervalo dado. Primeiro, derivamos :

Passo 10

Igualamos a derivada a zero para achar os pontos críticos:
Sabemos que quando , onde é um inteiro. No intervalo , os valores que satisfazem são:
Mas está fora do intervalo, então apenas .

Passo 11

Para determinar se é máximo ou mínimo, usamos a segunda derivada.
Primeiro, encontramos :
Agora, avaliamos em :
Como a segunda derivada é zero, precisamos analisar mais a fundo. Observamos o comportamento da derivada primeira ao redor de :
  • Para , , então .
  • Para , , então .
A derivada não muda de sinal, então não é nem máximo nem mínimo local. Porém, podemos verificar os extremos do intervalo.

Passo 12

Vamos avaliar a função nos pontos finais do intervalo:
  1. Para :
  1. Para :
Comparando com o valor em :
Portanto:
  • O mínimo ocorre em com valor .
  • O máximo ocorre em com valor .

Resposta

Função 1: Mínimo local em com .
Função 2:
  • Máximo local em com .
  • Mínimo local em com .
Função 3:
  • Máximo absoluto em com .
  • Mínimo absoluto em com .

Exercícios relacionados

Dada a função. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Para cada função: Encontre as assíntotas vertical e horizontal.
Para cada função: Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Encontre os valores máximos e mínimos absolutos de no intervalo dado. ,