Para cada função:
. Encontre os valores máximos ou mínimos locais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou três funções diferentes e precisa encontrar os valores máximos ou mínimos locais de cada uma delas. Para isso, vamos usar o cálculo diferencial, que nos ajuda a encontrar esses pontos críticos analisando as derivadas das funções. Precisamos seguir alguns passos: derivar a função, encontrar onde a derivada é zero (pontos críticos) e então determinar se esses pontos são máximos ou mínimos.
Passo 2
Função 1:
Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a derivação. Podemos reescrever
como
, então:
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
. Para isso, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de
é
, onde
e
.
Primeiro, encontramos as derivadas de
e
:
Agora, aplicando a regra do produto:
Vamos simplificar isso:
Passo 4
Para encontrar os pontos críticos, vamos igualar a derivada a zero:
O numerador deve ser zero:
Agora, verificamos se
está no domínio da função original
. O termo dentro da raiz deve ser não negativo:
Como
,
é um ponto crítico válido.
Passo 5
Para determinar se
é um máximo ou mínimo, podemos usar a segunda derivada ou analisar o comportamento da derivada primeira ao redor desse ponto. Vamos usar a segunda derivada.
Primeiro, encontramos a segunda derivada
:
Agora, avaliamos
:
Como a segunda derivada é positiva,
é um mínimo local.
Passo 6
Função 2:
Vamos encontrar os pontos críticos dessa função. Primeiro, derivamos
:
Passo 7
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Então,
ou
.
Passo 8
Vamos determinar se esses pontos são máximos ou mínimos usando a segunda derivada.
Primeiro, encontramos
:
Agora, avaliamos em cada ponto:
- Para
:
Então,
é um mínimo local.
- Para
:
Então,
é um máximo local.
Passo 9
Função 3:
Vamos encontrar os pontos críticos dessa função no intervalo dado. Primeiro, derivamos
:
Passo 10
Igualamos a derivada a zero para achar os pontos críticos:
Sabemos que
quando
, onde
é um inteiro. No intervalo
, os valores que satisfazem são:
Mas
está fora do intervalo, então apenas
.
Passo 11
Para determinar se
é máximo ou mínimo, usamos a segunda derivada.
Primeiro, encontramos
:
Agora, avaliamos em
:
Como a segunda derivada é zero, precisamos analisar mais a fundo. Observamos o comportamento da derivada primeira ao redor de
:
- Para
, , então . - Para
, , então .
A derivada não muda de sinal, então
não é nem máximo nem mínimo local. Porém, podemos verificar os extremos do intervalo.
Passo 12
Vamos avaliar a função nos pontos finais do intervalo:
- Para
:
- Para
:
Comparando com o valor em
:
Portanto:
- O mínimo ocorre em
com valor . - O máximo ocorre em
com valor .
Resposta
Função 1: Mínimo local em
com
.
Função 2:
- Máximo local em
com . - Mínimo local em
com .
Função 3:
- Máximo absoluto em
com . - Mínimo absoluto em
com .
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no intervalo dado.
,